Номер 5.54, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.54. Дан параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы углов $BAC$ и $BDC$ пересекаются в точке $M$ так, что $\angle AMD = 45^{\circ}$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — ромб.

5.54. Дан параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы углов $BAC$ и $BDC$ пересекаются в точке $M$ так, что $\angle AMD = 45^\circ$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — ромб.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Обозначим биссектрису угла $BAC$ как $AM$ и биссектрису угла $BDC$ как $DM$. Точка их пересечения — $M$. По условию задачи $\angle AMD = 45^\circ$.

Введем следующие обозначения для углов:
Пусть $\angle BAM = \angle CAM = \alpha$, тогда $\angle BAC = 2\alpha$.
Пусть $\angle BDM = \angle CDM = \beta$, тогда $\angle BDC = 2\beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle MAD + \angle MDA + \angle AMD = 180^\circ$.
Подставив известное значение $\angle AMD = 45^\circ$, получим:
$\angle MAD + \angle MDA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Теперь выразим углы $\angle MAD$ и $\angle MDA$ через углы параллелограмма $ABCD$ и введенные нами переменные $\alpha$ и $\beta$:
$\angle MAD = \angle BAD - \angle BAM = \angle BAD - \alpha$.
$\angle MDA = \angle ADC - \angle MDC = \angle ADC - \beta$.

Подставим эти выражения в сумму:
$(\angle BAD - \alpha) + (\angle ADC - \beta) = 135^\circ$
$\angle BAD + \angle ADC - (\alpha + \beta) = 135^\circ$.

По свойству параллелограмма, сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$. Подставим это в наше уравнение:
$180^\circ - (\alpha + \beta) = 135^\circ$.
Отсюда находим, что $\alpha + \beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Пусть диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$.
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$. Прямая $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ равны:
$\angle ABD = \angle BDC = 2\beta$.

Теперь мы можем найти углы треугольника $\triangle AOB$:
$\angle OAB = \angle CAB = 2\alpha$.
$\angle OBA = \angle DBA = 2\beta$.

Третий угол треугольника $\triangle AOB$, $\angle AOB$, является углом между диагоналями параллелограмма. Найдем его из суммы углов треугольника:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (2\alpha + 2\beta) = 180^\circ - 2(\alpha + \beta)$.
Ранее мы установили, что $\alpha + \beta = 45^\circ$. Подставим это значение:
$\angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, диагонали параллелограмма $ABCD$ перпендикулярны. По определению, параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
Следовательно, $ABCD$ — ромб, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.