Номер 5.55, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.55. Даны точки $A$, $C$ и $M$. Постройте ромб $ABCD$, если известно расстояние от точки $M$ до точки $N$ — середины стороны $BC$.

5.55. Даны точки $A$, $C$ и $M$. Постройте ромб $ABCD$, если известно расстояние от точки $M$ до точки $N$ – середины стороны $BC$.

Анализ

Пусть искомый ромб $ABCD$ построен. Точки $A$ и $C$ являются противоположными вершинами, следовательно, отрезок $AC$ — одна из диагоналей ромба. Точка пересечения диагоналей $O$ является серединой $AC$. Вторую диагональ $BD$ можно построить, проведя через точку $O$ прямую $l$, перпендикулярную $AC$. Вершины $B$ и $D$ лежат на этой прямой $l$.

Точка $N$ является серединой стороны $BC$. Рассмотрим положение точки $N$ относительно центра ромба $O$. Векторно это можно выразить так: $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$.

Пусть $K$ — середина отрезка $OC$. Тогда $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{OC}$. Подставив это в предыдущее равенство, получим: $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OB} + \vec{OK}$. Это означает, что точка $N$ получается из точки $B'$ (середины отрезка $OB$) параллельным переносом на вектор $\vec{OK}$.

Поскольку точка $B$ может занимать любое положение на прямой $l$, то её середина $B'$ ($\vec{OB'} = \frac{1}{2}\vec{OB}$) также будет лежать на прямой $l$. Геометрическое место точек $N$ — это прямая $l'$, полученная параллельным переносом прямой $l$ на вектор $\vec{OK}$. Эту прямую $l'$ можно построить, проведя через точку $K$ (середину $OC$) прямую, параллельную $l$ (то есть перпендикулярную $AC$).

С другой стороны, нам известно расстояние от точки $M$ до точки $N$, пусть оно равно $r$. Это означает, что точка $N$ лежит на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $r$.

Таким образом, точка $N$ является точкой пересечения прямой $l'$ и окружности с центром $M$ и радиусом $r$. Найдя точку $N$, мы можем найти вершину $B$, так как $N$ — середина $BC$, значит, точка $B$ симметрична точке $C$ относительно $N$. После нахождения $B$ можно легко достроить весь ромб.

Ответ: Построение основано на нахождении геометрического места точек $N$ (прямая) и использовании заданного расстояния от точки $M$ для определения конкретного положения $N$ на этой прямой.

Построение

1. Соединяем данные точки $A$ и $C$ отрезком.
2. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Точка $O$ (середина $AC$) — центр ромба, а прямая $l$, проходящая через $O$ перпендикулярно $AC$, содержит диагональ $BD$.
3. Находим точку $K$ — середину отрезка $OC$.
4. Через точку $K$ проводим прямую $l'$, параллельную прямой $l$ (т.е. $l' \perp AC$). Эта прямая является геометрическим местом середин стороны $BC$.
5. Строим окружность с центром в данной точке $M$ и радиусом $r$, равным заданному расстоянию от $M$ до $N$.
6. Находим точки пересечения прямой $l'$ и построенной окружности. Это возможные положения точки $N$. В зависимости от взаимного расположения прямой и окружности может быть ноль, одна или две такие точки ($N_1$, $N_2$).
7. Для каждой найденной точки $N$: проводим луч из точки $C$ через точку $N$. На этом луче откладываем отрезок $NB$, равный отрезку $CN$, так, чтобы $N$ была серединой $CB$. Точка $B$ — одна из вершин ромба.
8. Находим четвертую вершину $D$ как точку, симметричную $B$ относительно центра $O$.
9. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Алгоритм построения описан в 9 шагах выше.

Доказательство

По построению, $O$ — середина $AC$. Также по построению ($D$ симметрична $B$ относительно $O$), $O$ — середина $BD$. Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABCD$ — параллелограмм.

По построению, прямая $l$, содержащая диагональ $BD$, перпендикулярна диагонали $AC$. Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом.

Наконец, по построению точка $N$ является серединой стороны $BC$, и при этом расстояние $MN$ равно заданному радиусу $r$. Таким образом, построенный ромб $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенная фигура является ромбом, так как это параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, и он удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если прямая $l'$ и окружность с центром $M$ и радиусом $r$ имеют общие точки. Пусть $d$ — расстояние от точки $M$ до прямой $l'$.

• Если $r < d$, окружность и прямая не пересекаются, общих точек нет. Решений нет.
• Если $r = d$, окружность касается прямой в одной точке. Существует одна точка $N$, и, следовательно, можно построить один ромб. Задача имеет одно решение.
• Если $r > d$, окружность пересекает прямую в двух точках ($N_1$ и $N_2$). Каждая из этих точек порождает свое решение (ромб $ABCD_1$ и ромб $ABCD_2$). Задача имеет два решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения между заданным расстоянием $r$ и расстоянием от точки $M$ до построенной прямой $l'$.