Номер 5.48, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.48. Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

5.48. Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Пусть $P$ — произвольная точка внутри квадрата. Через точку $P$ проведены две взаимно перпендикулярные прямые, которые мы обозначим $l_1$ и $l_2$.

По условию, каждая из этих прямых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны, то если одна из них пересекает, например, стороны $AD$ и $BC$, то другая будет пересекать стороны $AB$ и $DC$.

Без ограничения общности, пусть прямая $l_1$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ — это отрезок первой прямой, принадлежащий квадрату. Соответственно, прямая $l_2$ будет пересекать стороны $AB$ и $DC$ в точках $K$ и $L$. Отрезок $KL$ — это отрезок второй прямой, принадлежащий квадрату.

Требуется доказать, что $MN = KL$.

Для нахождения длины отрезка $MN$ спроецируем его на прямую, параллельную стороне $AB$. Длина проекции будет равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$, то есть стороне квадрата $a$. Пусть $\alpha$ — острый угол, который прямая $l_1$ образует с прямыми $AB$ и $DC$. Тогда длина отрезка $MN$ связана с длиной его проекции следующим соотношением:$$MN = \frac{a}{\cos\alpha}$$

Теперь рассмотрим отрезок $KL$. Прямая $l_2$ перпендикулярна прямой $l_1$. Сторона $AD$ перпендикулярна стороне $AB$. Известно, что угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами. Следовательно, угол, который прямая $l_2$ образует со стороной $AD$, также равен $\alpha$.

Для нахождения длины отрезка $KL$ спроецируем его на прямую, параллельную стороне $AD$. Длина проекции будет равна расстоянию между прямыми $AB$ и $DC$, то есть стороне квадрата $a$. Тогда длина отрезка $KL$ связана с длиной его проекции соотношением:$$KL = \frac{a}{\cos\alpha}$$

Сравнивая полученные выражения для длин отрезков, мы видим, что они равны:$$MN = KL = \frac{a}{\cos\alpha}$$Таким образом, отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.