Номер 6.4, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.4. Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

6.4. Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим середины его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $D$, $E$ и $F$ соответственно. Тогда $DE$, $EF$ и $DF$ — средние линии треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом:

• $DE$ параллельна $AC$ и $DE = \frac{1}{2}AC$
• $EF$ параллельна $AB$ и $EF = \frac{1}{2}AB$
• $DF$ параллельна $BC$ и $DF = \frac{1}{2}BC$

По условию задачи, две средние линии равны. Без ограничения общности, пусть это будут линии $DE$ и $DF$.

Из равенства $DE = DF$ следует, что $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC$, откуда $AC = BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и углы при его основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B$.

Также по условию эти средние линии перпендикулярны, то есть $DE \perp DF$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle EDF = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $DECF$. В нём:

• сторона $DE$ параллельна стороне $FC$ (так как $DE \parallel AC$);
• сторона $DF$ параллельна стороне $EC$ (так как $DF \parallel BC$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $DECF$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle C = \angle EDF$.

Поскольку $\angle EDF = 90^\circ$, то и $\angle C = 90^\circ$.

Теперь мы знаем, что треугольник $ABC$ является прямоугольным (с прямым углом $C$) и равнобедренным (с равными сторонами $AC$ и $BC$). Найдем его углы. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Подставим известные значения и соотношения ($\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = \angle B$):

$\angle A + \angle A + 90^\circ = 180^\circ$

$2\angle A = 180^\circ - 90^\circ$

$2\angle A = 90^\circ$

$\angle A = 45^\circ$

Так как $\angle A = \angle B$, то $\angle B = 45^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ: $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.