Номер 6.7, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.7. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

6.7. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

Пусть данный четырёхугольник — это $ABCD$. Обозначим его диагонали как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. По условию, сумма длин диагоналей равна 28 см, то есть $d_1 + d_2 = AC + BD = 28$ см.

Пусть $M, N, K, L$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырёхугольник $MNKL$ — это тот, периметр которого нам нужно найти.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине:$MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} d_1$

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $LK$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, $LK$ является средней линией треугольника $ADC$.$LK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} d_1$

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NK$ является его средней линией.$NK = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} d_2$

И, наконец, в треугольнике $ABD$ отрезок $ML$ является его средней линией.$ML = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} d_2$

Периметр четырёхугольника $MNKL$ равен сумме длин его сторон:$P_{MNKL} = MN + NK + KL + LM$

Подставим найденные значения длин сторон:$P_{MNKL} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:$P_{MNKL} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Таким образом, периметр четырёхугольника, образованного серединами сторон исходного, равен сумме длин диагоналей исходного четырёхугольника.

По условию $AC + BD = 28$ см, следовательно:$P_{MNKL} = 28$ см.

Ответ: 28 см.