Номер 6.12, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.12. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, равны. Докажите, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны.

6.12. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, равны. Докажите, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырехугольник. Обозначим середины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, — это $KM$ и $LN$. По условию задачи, их длины равны: $KM = LN$.

Рассмотрим четырехугольник $KLMN$, образованный последовательным соединением середин сторон четырехугольника $ABCD$.В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. По свойству средней линии треугольника, он параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.Из этого следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Так как в четырехугольнике $KLMN$ две противолежащие стороны равны и параллельны, то $KLMN$ является параллелограммом (согласно теореме Вариньона).

Рассмотрим две другие стороны этого параллелограмма. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, следовательно, $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. В треугольнике $CBD$ отрезок $LM$ также является средней линией, следовательно, $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.

Отрезки $KM$ и $LN$, равенство которых дано в условии, являются диагоналями параллелограмма $KLMN$.Поскольку в параллелограмме $KLMN$ диагонали равны ($KM = LN$), этот параллелограмм является прямоугольником.

Углы прямоугольника прямые, значит, его смежные стороны перпендикулярны. В частности, $KL \perp KN$.Так как мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, то из перпендикулярности прямых $KL$ и $KN$ следует перпендикулярность прямых $AC$ и $BD$.Следовательно, $AC \perp BD$.

Ответ: Диагонали этого четырехугольника перпендикулярны.