Номер 6.16, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.16. Постройте треугольник по серединам трёх его сторон.

6.16. Постройте треугольник по серединам трёх его сторон.

Задача состоит в том, чтобы построить треугольник $ABC$, зная положения середин его сторон — точек $M, N, P$. Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, и $P$ — середина $AC$.

Анализ

Для решения задачи воспользуемся свойствами средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

В искомом треугольнике $ABC$ отрезки $MN$, $NP$ и $PM$ являются средними линиями.

• Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MN \parallel AC$.
• Отрезок $NP$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$, следовательно, $NP \parallel AB$.
• Отрезок $PM$ соединяет середины сторон $AC$ и $AB$, следовательно, $PM \parallel BC$.

Таким образом, стороны искомого треугольника $ABC$ параллельны сторонам треугольника $MNP$, образованного заданными точками. Вершины $A, B, C$ являются точками пересечения прямых, из которых состоят стороны треугольника.

Например, вершина $A$ является точкой пересечения сторон $AB$ и $AC$. Так как $AB \parallel NP$ и $AC \parallel MN$, то вершина $A$ — это точка пересечения прямой, проходящей через $M$ параллельно $NP$, и прямой, проходящей через $P$ параллельно $MN$. Аналогично можно найти и другие вершины.

Построение

Пусть нам даны три точки $M, N, P$, не лежащие на одной прямой.

1. Соединим точки $M, N$ и $P$ отрезками. Получим треугольник $MNP$.
2. Через точку $M$ проведем прямую $a$, параллельную отрезку $NP$.
3. Через точку $N$ проведем прямую $b$, параллельную отрезку $MP$.
4. Через точку $P$ проведем прямую $c$, параллельную отрезку $MN$.
5. Точки пересечения этих трех прямых образуют искомый треугольник $ABC$:
   • Вершина $A$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$.
   • Вершина $B$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$.
   • Вершина $C$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $AMNP$. По построению, прямая, содержащая сторону $AM$, параллельна $NP$. Прямая, содержащая сторону $AP$, параллельна $MN$. По определению, $AMNP$ — параллелограмм.

Аналогично, четырехугольник $BMNP$ является параллелограммом, так как $BM \parallel NP$ и $BN \parallel MP$.

Также четырехугольник $CNPM$ является параллелограммом, так как $CN \parallel MP$ и $CP \parallel MN$.

Из свойств параллелограмма имеем:

• Из $AMNP$ следует, что $AM = NP$. Из $BMNP$ следует, что $BM = NP$. Таким образом, $AM = BM$, значит, $M$ — середина стороны $AB$.
• Из $BMNP$ следует, что $BN = MP$. Из $CNPM$ следует, что $CN = MP$. Таким образом, $BN = CN$, значит, $N$ — середина стороны $BC$.
• Из $CNPM$ следует, что $CP = MN$. Из $AMNP$ следует, что $AP = MN$. Таким образом, $CP = AP$, значит, $P$ — середина стороны $AC$.

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится путем проведения через каждую из заданных точек ($M, N, P$) прямой, параллельной отрезку, соединяющему две другие точки. Вершины треугольника ($A, B, C$) являются точками пересечения этих прямых.