Номер 6.21, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.21. Угол $\angle ABC$ треугольника $\triangle ABC$ равен $30^\circ$. Медиана $CM$ треугольника равна его высоте, проведённой из вершины $A$. Найдите углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

6.21. Угол $\angle ABC$ треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Медиана $CM$ треугольника равна его высоте, проведённой из вершины $A$. Найдите углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ имеет длину $c$. Обозначим $AH$ — высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$, и $CM$ — медиану, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$.

По условию задачи дано:

• $\angle ABC = 30^\circ$
• $CM = AH$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Выразим длину высоты $AH$ через сторону $c$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $H$ — основание высоты) катет $AH$ лежит напротив угла $\angle ABH = 30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Гипотенузой является сторона $AB = c$.

$AH = AB \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$

2. Используем условие $CM = AH$. Отсюда следует, что длина медианы $CM$ также равна $\frac{c}{2}$.

$CM = \frac{c}{2}$

3. Так как $CM$ — медиана к стороне $AB$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Следовательно, длины отрезков $AM$ и $MB$ равны половине длины стороны $AB$.

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$

4. Рассмотрим треугольник $CMB$. Мы установили, что его стороны $CM$ и $MB$ равны: $CM = MB = \frac{c}{2}$. Это означает, что треугольник $CMB$ является равнобедренным с основанием $CB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$\angle MCB = \angle MBC = 30^\circ$

5. Теперь рассмотрим треугольник $CMA$. Мы также установили, что его стороны $CM$ и $AM$ равны: $CM = AM = \frac{c}{2}$. Следовательно, треугольник $CMA$ также является равнобедренным, но с основанием $CA$.

6. Найдем угол $\angle CMA$. Точки $A, M, B$ лежат на одной прямой (стороне $AB$), поэтому углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Угол $\angle CMB$ найдем из суммы углов треугольника $CMB$:

$\angle CMB = 180^\circ - (\angle MCB + \angle MBC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Тогда $\angle CMA = 180^\circ - \angle CMB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

7. В треугольнике $CMA$ мы имеем две равные стороны ($CM=AM$) и угол между ними $\angle CMA = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$.

Найдите углы BAC и BCA

Теперь, зная свойства треугольников $CMB$ и $CMA$, мы можем найти искомые углы треугольника $ABC$.

• Угол BAC: Угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$ совпадает с углом $\angle MAC$ равностороннего треугольника $CMA$. Следовательно, $\angle BAC = 60^\circ$.
• Угол BCA: Угол $\angle BCA$ треугольника $ABC$ является суммой углов $\angle BCM$ и $\angle MCA$. Из пункта 4 мы знаем, что $\angle BCM = 30^\circ$. Из пункта 7 мы знаем, что $\angle MCA = 60^\circ$, так как $\triangle CMA$ равносторонний.
  $\angle BCA = \angle BCM + \angle MCA = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

Проверим, что сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 60^\circ + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Все условия соблюдены.

Ответ: $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 90^\circ$.