Номер 6.26, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.26. Точки M и N — середины соответственно сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что если $MN = \frac{1}{2}(BC + AD)$, то $BC \parallel AD$.

6.26. Точки $M$ и $N$ — середины соответственно сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что если $MN = \frac{1}{2}(BC + AD)$, то $BC \parallel AD$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ — радиус-векторы вершин $A$, $B$, $C$, $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ относительно некоторого начала координат.

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $AB$, её радиус-вектор $\vec{m}$ выражается как среднее арифметическое радиус-векторов её концов:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой стороны $CD$, её радиус-вектор $\vec{n}$ равен:

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.

Вектор $\vec{MN}$, соединяющий точки $M$ и $N$, равен разности их радиус-векторов:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$.

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выразить $\vec{MN}$ через векторы сторон четырёхугольника:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a}))$.

Заметим, что $\vec{c} - \vec{b} = \vec{BC}$ и $\vec{d} - \vec{a} = \vec{AD}$. Таким образом, мы получаем известное соотношение для вектора, соединяющего середины двух сторон четырёхугольника:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$.

Длина отрезка $MN$ равна модулю (длине) вектора $\vec{MN}$:

$MN = |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})| = \frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}|$.

По условию задачи нам дано, что $MN = \frac{1}{2}(BC + AD)$. Важно отметить, что $BC$ и $AD$ в этой формуле — это длины сторон, которые равны модулям соответствующих векторов: $BC = |\vec{BC}|$ и $AD = |\vec{AD}|$.

Приравняем два полученных выражения для длины $MN$:

$\frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}| = \frac{1}{2}(|\vec{BC}| + |\vec{AD}|)$.

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$|\vec{BC} + \vec{AD}| = |\vec{BC}| + |\vec{AD}|$.

Это выражение представляет собой случай равенства в неравенстве треугольника для векторов (которое в общем виде записывается как $|\vec{u} + \vec{v}| \le |\vec{u}| + |\vec{v}|$). Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ сонаправлены, то есть коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону.

В нашем случае это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Это можно записать как $\vec{BC} = k \cdot \vec{AD}$ для некоторого положительного числа $k > 0$.

Коллинеарность векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ означает, что прямые $BC$ и $AD$, на которых лежат эти векторы, параллельны друг другу.

Следовательно, $BC \parallel AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.