Номер 6.28, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.28. Дан равносторонний треугольник $ABC$. Описана дуга $BC$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$, точка $M$ — произвольная точка дуги $BC$, отличная от точек $B$ и $C$. Середины хорд $MC$ и $MB$ соединены отрезками с серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что полученные отрезки перпендикулярны.

6.28. Дан равносторонний треугольник $ABC$. Описана дуга $BC$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$, точка $M$ — произвольная точка дуги $BC$, отличная от точек $B$ и $C$. Середины хорд $MC$ и $MB$ соединены отрезками с серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что полученные отрезки перпендикулярны.

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$.Обозначим заданные точки следующим образом:

• $P$ — середина стороны $AB$.
• $Q$ — середина стороны $AC$.
• $K$ — середина хорды $MC$.
• $L$ — середина хорды $MB$.

Требуется доказать, что отрезки $PK$ и $QL$ перпендикулярны ($PK \perp QL$).

Рассмотрим четырехугольник $PLKQ$. Для доказательства перпендикулярности его диагоналей $PK$ и $QL$ докажем, что этот четырехугольник является ромбом. Для этого найдем длины его сторон, последовательно применяя теорему о средней линии треугольника.

1. В треугольнике $ABC$ отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $PQ$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, $PQ$ параллельна $BC$ и ее длина равна половине длины стороны $BC$: $PQ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.
2. По условию, дуга $BC$ описана с центром в точке $A$ и радиусом $AB$. Поскольку точка $M$ лежит на этой дуге, ее расстояние до центра $A$ равно радиусу: $AM = AB = a$.
3. В треугольнике $AMB$ отрезок $PL$ соединяет середины сторон $AB$ и $MB$. Следовательно, $PL$ является средней линией $\triangle AMB$. По свойству средней линии, $PL$ параллельна $AM$ и $PL = \frac{1}{2}AM = \frac{a}{2}$.
4. Аналогично, в треугольнике $AMC$ отрезок $QK$ соединяет середины сторон $AC$ и $MC$. Следовательно, $QK$ является средней линией $\triangle AMC$. По свойству средней линии, $QK$ параллельна $AM$ и $QK = \frac{1}{2}AM = \frac{a}{2}$.
5. В треугольнике $MBC$ отрезок $LK$ соединяет середины сторон $MB$ и $MC$. Следовательно, $LK$ является средней линией $\triangle MBC$. По свойству средней линии, $LK$ параллельна $BC$ и $LK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

Мы показали, что все четыре стороны четырехугольника $PLKQ$ равны между собой:$PQ = PL = QK = LK = \frac{a}{2}$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Таким образом, $PLKQ$ — это ромб.

Одним из основных свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Отрезки $PK$ и $QL$ являются диагоналями ромба $PLKQ$. Следовательно, они перпендикулярны: $PK \perp QL$.

Ответ: Утверждение доказано, полученные отрезки перпендикулярны.