Номер 6.24, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.24. Точки $B_1$ и $C_1$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $A$ треугольника $ABC$ на биссектрисы углов $B$ и $C$ соответственно. Точки $B_2$ и $C_2$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $A$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что точки $B_1, C_1, B_2$ и $C_2$ лежат на одной прямой.

6.24. Точки $B_1$ и $C_1$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $A$ треугольника $ABC$ на биссектрисы углов $B$ и $C$ соответственно.

Точки $B_2$ и $C_2$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $A$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что точки $B_1$, $C_1$, $B_2$ и $C_2$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $B_1, C_1, B_2, C_2$ лежат на одной прямой, мы покажем, что все они принадлежат одной и той же средней линии некоторого треугольника.

1. Анализ положения точки $B_1$

Пусть $l_B$ - биссектриса внутреннего угла $B$ треугольника $ABC$. По условию, $B_1$ - основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на $l_B$, то есть $AB_1 \perp l_B$.

Продлим отрезок $AB_1$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$. Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике прямая $l_B$ (содержащая отрезок $BB_1$) является одновременно высотой (поскольку $BB_1 \perp AK$) и биссектрисой угла $\angle ABK$.

Треугольник, в котором биссектриса является высотой, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABK$ - равнобедренный с основанием $AK$, то есть $AB = BK$. Также в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит, точка $B_1$ - середина отрезка $AK$.

2. Анализ положения точек $C_1, B_2, C_2$

Проведем аналогичные рассуждения для остальных точек:

• Для точки $C_1$: Продлим перпендикуляр $AC_1$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $L$. В треугольнике $ACL$ биссектриса угла $C$ является высотой, следовательно, $\triangle ACL$ - равнобедренный ($AC = CL$), а $C_1$ - середина отрезка $AL$.
• Для точки $B_2$: $B_2$ - основание перпендикуляра из $A$ на биссектрису внешнего угла при вершине $B$. Продлим $AB_2$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $M$. Биссектриса внешнего угла является высотой в $\triangle ABM$, следовательно, $\triangle ABM$ - равнобедренный ($AB = BM$), а $B_2$ - середина отрезка $AM$.
• Для точки $C_2$: $C_2$ - основание перпендикуляра из $A$ на биссектрису внешнего угла при вершине $C$. Продлим $AC_2$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $N$. Биссектриса внешнего угла является высотой в $\triangle ACN$, следовательно, $\triangle ACN$ - равнобедренный ($AC = CN$), а $C_2$ - середина отрезка $AN$.

3. Применение теоремы о средней линии

Все точки $K, L, M, N$ лежат на одной прямой - прямой $BC$.

Рассмотрим $\triangle AKL$. Точка $B_1$ - середина стороны $AK$, а точка $C_1$ - середина стороны $AL$. Следовательно, отрезок $B_1C_1$ является средней линией треугольника $AKL$. По свойству средней линии, $B_1C_1 \parallel KL$, а так как точки $K$ и $L$ лежат на прямой $BC$, то $B_1C_1 \parallel BC$.

Рассмотрим $\triangle AKM$. Точка $B_1$ - середина стороны $AK$, а точка $B_2$ - середина стороны $AM$. Следовательно, отрезок $B_1B_2$ является средней линией треугольника $AKM$. По свойству средней линии, $B_1B_2 \parallel KM$, а так как точки $K$ и $M$ лежат на прямой $BC$, то $B_1B_2 \parallel BC$.

4. Вывод

Мы получили, что прямая, проходящая через точки $B_1$ и $C_1$, параллельна прямой $BC$. Также прямая, проходящая через точки $B_1$ и $B_2$, параллельна прямой $BC$.

Через одну точку ($B_1$) может проходить только одна прямая, параллельная данной прямой ($BC$). Это означает, что прямые $B_1C_1$ и $B_1B_2$ совпадают. Следовательно, точки $B_1, C_1, B_2$ лежат на одной прямой.

Аналогично, рассмотрев, например, $\triangle ALN$, можно показать, что $C_1C_2$ является его средней линией и, следовательно, $C_1C_2 \parallel BC$. Так как прямая $B_1C_1$ также параллельна $BC$ и проходит через точку $C_1$, то точки $B_1, C_1, C_2$ лежат на одной прямой.

Поскольку точки $B_2$ и $C_2$ лежат на прямой $B_1C_1$, все четыре точки $B_1, C_1, B_2, C_2$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $B_1, C_1, B_2, C_2$ лежат на одной прямой.