Номер 6.25, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.25. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена высота $CD$. Биссектрисы углов $BAC$ и $DCB$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $ABC$ и $DCA$ — в точке $N$. Докажите, что $MN \parallel AB$.

6.25. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена высота $CD$. Биссектрисы углов $BAC$ и $DCB$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $ABC$ и $DCA$ — в точке $N$. Докажите, что $MN \parallel AB$.

Доказательство:

1. Введем обозначения для углов. Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ острые углы равны $ \angle BAC = \alpha $ и $ \angle ABC = \beta $. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а $ \angle ACB = 90^\circ $, то $ \alpha + \beta = 90^\circ $.

2. Рассмотрим треугольники, на которые высота $CD$ делит треугольник $ABC$. В прямоугольном треугольнике $ADC$ ($ \angle CDA = 90^\circ $):
$ \angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - \alpha = \beta $.
В прямоугольном треугольнике $BDC$ ($ \angle CDB = 90^\circ $):
$ \angle BCD = 90^\circ - \angle CBD = 90^\circ - \beta = \alpha $.

3. Используем условия о биссектрисах:

• $AM$ — биссектриса $ \angle BAC $, следовательно, $ \angle MAC = \angle MAB = \frac{\alpha}{2} $.
• $CM$ — биссектриса $ \angle DCB $, следовательно, $ \angle DCM = \angle MCB = \frac{\alpha}{2} $.
• $BN$ — биссектриса $ \angle ABC $, следовательно, $ \angle ABN = \angle NBC = \frac{\beta}{2} $.
• $CN$ — биссектриса $ \angle DCA $, следовательно, $ \angle DCN = \angle NCA = \frac{\beta}{2} $.

4. Для доказательства того, что $ MN \parallel AB $, достаточно доказать, что обе эти прямые перпендикулярны высоте $CD$. Мы знаем, что $ AB \perp CD $ по определению высоты. Следовательно, задача сводится к доказательству того, что $ MN \perp CD $.

Чтобы доказать, что $ MN \perp CD $, мы покажем, что проекции точек $M$ и $N$ на прямую $CD$ совпадают.

5. Найдем длины отрезков $CM$ и $CN$. Рассмотрим $ \triangle ACM $. Найдем его углы: $ \angle MAC = \frac{\alpha}{2} $
$ \angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $
Следовательно, третий угол $ \angle AMC = 180^\circ - \angle MAC - \angle ACM = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ $. Таким образом, $ \triangle ACM $ — прямоугольный. Из него находим: $ CM = AC \cdot \cos(\angle ACM) = AC \cdot \cos(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = AC \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) $.

Рассмотрим $ \triangle BCN $. Найдем его углы: $ \angle NBC = \frac{\beta}{2} $
$ \angle BCN = \angle BCA - \angle NCA = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $
Следовательно, третий угол $ \angle BNC = 180^\circ - \angle NBC - \angle BCN = 180^\circ - \frac{\beta}{2} - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = 90^\circ $. Таким образом, $ \triangle BCN $ — прямоугольный. Из него находим: $ CN = BC \cdot \cos(\angle BCN) = BC \cdot \cos(90^\circ - \frac{\beta}{2}) = BC \cdot \sin(\frac{\beta}{2}) $.

6. Пусть $M'$ и $N'$ — это ортогональные проекции точек $M$ и $N$ на прямую $CD$. Точка $C$ является своей собственной проекцией на прямую $CD$. Расстояния от точки $C$ до проекций $M'$ и $N'$ равны: $ CM' = CM \cdot \cos(\angle MCD) $
$ CN' = CN \cdot \cos(\angle NCD) $

Из пункта 3 мы знаем, что $ \angle MCD = \frac{\alpha}{2} $ и $ \angle NCD = \frac{\beta}{2} $. Подставим выражения для $CM$ и $CN$ из пункта 5: $ CM' = (AC \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})) \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = AC \cdot \frac{1}{2} \sin(\alpha) $
$ CN' = (BC \cdot \sin(\frac{\beta}{2})) \cdot \cos(\frac{\beta}{2}) = BC \cdot \frac{1}{2} \sin(\beta) $

7. Сравним длины $CM'$ и $CN'$. Для этого воспользуемся теоремой синусов для исходного треугольника $ABC$: $ \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)} $
Отсюда $ AC \cdot \sin(\alpha) = BC \cdot \sin(\beta) $.

Сравнивая это с выражениями для $CM'$ и $CN'$, получаем: $ CM' = \frac{1}{2} (AC \cdot \sin(\alpha)) $
$ CN' = \frac{1}{2} (BC \cdot \sin(\beta)) $
Следовательно, $ CM' = CN' $.

Так как проекции $M'$ и $N'$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $C$ и лежат на луче $CD$ (поскольку углы $ \angle MCD $ и $ \angle NCD $ острые), то точки $M'$ и $N'$ совпадают. Это означает, что прямая $MN$ перпендикулярна прямой $CD$.

8. Мы имеем $ MN \perp CD $ и по условию $ AB \perp CD $. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны. Таким образом, $ MN \parallel AB $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.