Номер 6.20, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.20. Угол $\angle ABC$ треугольника $\triangle ABC$ равен $60^\circ$. Медиана $BM$ треугольника равна его высоте $CH$. Докажите, что треугольник $\triangle ABC$ равносторонний.

6.20. Угол $ABC$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Медиана $BM$ треугольника равна его высоте $CH$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны имеют длины $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$. По условию задачи, угол $\angle ABC = 60^\circ$, медиана $BM$ равна по длине высоте $CH$.

Сначала выразим длину высоты $CH$. В прямоугольном треугольнике $CHB$ ($\angle CHB = 90^\circ$, так как $CH$ – высота, опущенная на сторону $AB$), по определению синуса:$\sin(\angle ABC) = \frac{CH}{BC}$Отсюда, $CH = BC \cdot \sin(\angle ABC) = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь выразим квадрат длины медианы $BM$ через стороны треугольника, используя стандартную формулу:$BM^2 = \frac{2 \cdot AB^2 + 2 \cdot BC^2 - AC^2}{4} = \frac{2c^2 + 2a^2 - b^2}{4}$.

Согласно условию, $BM = CH$. Возведем обе части этого равенства в квадрат: $BM^2 = CH^2$. Подставим полученные выражения:$\frac{2c^2 + 2a^2 - b^2}{4} = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$\frac{2c^2 + 2a^2 - b^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$Умножим обе части на 4:$2c^2 + 2a^2 - b^2 = 3a^2$Выразим $b^2$:$b^2 = 2c^2 - a^2$. (1)

Далее, применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ для нахождения стороны $AC = b$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cdot \cos(60^\circ)$$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cdot \frac{1}{2}$$b^2 = c^2 + a^2 - ac$. (2)

Теперь у нас есть два выражения для $b^2$. Приравняем их правые части:$2c^2 - a^2 = c^2 + a^2 - ac$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение:$c^2 + ac - 2a^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Поскольку длина стороны $a$ не может быть равна нулю, мы можем разделить все уравнение на $a^2$:$\left(\frac{c}{a}\right)^2 + \frac{c}{a} - 2 = 0$.

Сделаем замену переменной $x = \frac{c}{a}$. Уравнение примет вид:$x^2 + x - 2 = 0$.Это квадратное уравнение можно решить, например, разложением на множители: $(x+2)(x-1) = 0$.Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.Поскольку $x$ представляет собой отношение длин сторон треугольника ($x = \frac{AB}{BC}$), оно должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень $x = 1$.

Из $x = \frac{c}{a} = 1$ следует, что $c = a$, то есть $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и угол между его равными сторонами $AB$ и $BC$ составляет $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит:$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Все три угла треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, из чего следует, что треугольник является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано: треугольник ABC является равносторонним.