Номер 6.22, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.22. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника $ABCD$, делят его на четыре четырёхугольника с равными периметрами. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

6.22. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника $ABCD$, делят его на четыре четырёхугольника с равными периметрами. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ соответственно. Отрезки $KM$ и $LN$, соединяющие середины противолежащих сторон, пересекаются в точке $O$. Эти отрезки делят четырехугольник $ABCD$ на четыре меньших четырехугольника: $AKON, KBLO, LCMO$ и $MDNO$.

Обозначим периметры этих четырехугольников как $P_1, P_2, P_3, P_4$:
$P_1 = P(AKON) = AK + KO + ON + NA$
$P_2 = P(KBLO) = KB + BL + LO + OK$
$P_3 = P(LCMO) = LC + CM + MO + OL$
$P_4 = P(MDNO) = MD + DN + NO + OM$

По условию задачи, все эти периметры равны: $P_1 = P_2 = P_3 = P_4$.

Поскольку $K, L, M, N$ — середины сторон, мы имеем:
$AK = KB = \frac{1}{2}AB$
$BL = LC = \frac{1}{2}BC$
$CM = MD = \frac{1}{2}CD$
$DN = NA = \frac{1}{2}DA$

Приравняем периметры соседних четырехугольников:
1) $P_1 = P_2 \implies AK + KO + ON + NA = KB + BL + LO + OK$.
Так как $AK = KB$ и $OK$ является общей частью, получаем:
$ON + NA = BL + LO \implies \frac{1}{2}DA + ON = \frac{1}{2}BC + LO$ (1)

2) $P_2 = P_3 \implies KB + BL + LO + OK = LC + CM + MO + OL$.
Так как $BL = LC$ и $LO$ является общей частью, получаем:
$KB + OK = CM + MO \implies \frac{1}{2}AB + OK = \frac{1}{2}CD + OM$ (2)

Теперь рассмотрим четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон исходного четырехугольника $ABCD$. По теореме Вариньона, такой четырехугольник всегда является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям четырехугольника $ABCD$, а их длины равны половинам длин соответствующих диагоналей ($KL = MN = \frac{1}{2}AC$, $LM = NK = \frac{1}{2}BD$).

Одно из ключевых свойств любого параллелограмма заключается в том, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагоналями параллелограмма $KLMN$ являются отрезки $KM$ и $LN$. Точка их пересечения — $O$. Следовательно, точка $O$ является серединой как для $KM$, так и для $LN$. Отсюда получаем:
$OK = OM$
$OL = ON$

Подставим эти равенства в уравнения (1) и (2), полученные из равенства периметров.
Из уравнения (2), $\frac{1}{2}AB + OK = \frac{1}{2}CD + OM$, и так как $OK = OM$, следует, что:
$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD \implies AB = CD$.

Из уравнения (1), $\frac{1}{2}DA + ON = \frac{1}{2}BC + LO$, и так как $ON = OL$, следует, что:
$\frac{1}{2}DA = \frac{1}{2}BC \implies DA = BC$.

Мы доказали, что в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. По признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны, является параллелограммом.

Доказательство:
Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ четырехугольника $ABCD$ соответственно, а отрезки $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $O$. По условию, периметры четырехугольников $AKON$, $KBLO$, $LCMO$ и $MDNO$ равны. Из равенства $P(AKON) = P(KBLO)$ следует $AK+KO+ON+NA = KB+BL+LO+OK$. Учитывая, что $AK=KB$, получаем $ON+NA = LO+BL$. Из равенства $P(KBLO) = P(LCMO)$ следует $KB+BL+LO+OK = LC+CM+MO+OL$. Учитывая, что $BL=LC$, получаем $KB+OK = CM+MO$. Четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом Вариньона, диагонали которого $KM$ и $LN$ в точке пересечения $O$ делятся пополам, то есть $OK=OM$ и $OL=ON$. Подставив $OK=OM$ в равенство $KB+OK = CM+MO$, получаем $KB=CM$. Так как $K$ и $M$ — середины, то $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$, откуда $AB=CD$. Подставив $OL=ON$ в равенство $ON+NA = LO+BL$, получаем $NA=BL$. Так как $N$ и $L$ — середины, то $\frac{1}{2}DA = \frac{1}{2}BC$, откуда $DA=BC$. Поскольку у четырехугольника $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $DA=BC$), он является параллелограммом.
Ответ: Что и требовалось доказать.