Номер 6.29, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.29. Продолжение медианы $AM$ треугольника $ABC$ пересекает его описанную окружность в точке $D$. Постройте треугольник $ABC$ по заданным точкам $A$, $B$ и $D$.

6.29. Продолжение медианы $AM$ треугольника $ABC$ пересекает его описанную окружность в точке $D$. Постройте треугольник $ABC$ по заданным точкам $A$, $B$ и $D$.

Задача состоит в построении вершины C треугольника ABC по известным вершинам A, B и точке D, которая является точкой пересечения продолжения медианы AM с описанной окружностью треугольника ABC.

Анализ

Пусть $\omega$ — описанная окружность треугольника ABC. По условию, точки A, B, C и D лежат на этой окружности. Медиана AM треугольника ABC делит сторону BC пополам, то есть M — середина отрезка BC. Прямая AD проходит через точку M.

Таким образом, задача сводится к нахождению положения точки C. Если мы найдем положение точки M, то точку C можно будет легко построить, так как C — это точка, симметричная B относительно M.

Рассмотрим, как найти точку M. Точка M обладает двумя свойствами:

1. M лежит на прямой, проходящей через точки A и D.
2. M является серединой хорды BC описанной окружности $\omega$.

Рассмотрим второе свойство. Пусть O — центр описанной окружности $\omega$, а R — её радиус. Так как точки A, B, D даны, окружность $\omega$ однозначно определяется как окружность, проходящая через эти три точки.

Рассмотрим множество середин всех хорд, проведенных из точки B окружности $\omega$. Пусть C — произвольная точка на окружности $\omega$, а M — середина хорды BC. Векторно это можно записать как $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$. Когда точка C пробегает всю окружность $\omega$ (то есть $|\vec{OC}| = R$), точка M пробегает окружность $\omega_M$ с центром в точке $O_M$, которая является серединой отрезка OB, и радиусом $R_M = R/2$.

Итак, точка M должна одновременно принадлежать прямой AD и окружности $\omega_M$. Это позволяет определить её положение.

Построение

1. Строим описанную окружность $\omega$ для треугольника ABD. Для этого находим её центр O как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и AD. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от O до любой из точек A, B или D (например, $R = |OB|$).
2. Находим середину отрезка OB. Обозначим эту точку $O_M$.
3. Строим вспомогательную окружность $\omega_M$ с центром в точке $O_M$ и радиусом $R_M = R/2$.
4. Проводим прямую через точки A и D.
5. Находим точку (или точки) пересечения прямой AD и окружности $\omega_M$. По условию, D лежит на продолжении медианы AM, значит, точка M должна лежать на отрезке AD. Выбираем ту точку пересечения, которая лежит между A и D. Обозначим эту точку M. (Если таких точек две или нет ни одной, то задача имеет соответственно два или ноль решений).
6. Проводим прямую через точки B и M.
7. На этой прямой откладываем от точки M отрезок MC, равный BM, так, чтобы M оказалась серединой отрезка BC. Точка C является третьей вершиной искомого треугольника.
8. Соединяем точки A, B и C, чтобы получить искомый треугольник ABC.

Обоснование

Построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи:

• Вершины A и B совпадают с заданными по построению.
• Точка M, по построению, лежит на прямой AD (шаг 5).
• Точка M, по построению, является серединой отрезка BC (шаг 7). Следовательно, AM — медиана треугольника ABC.
• Так как точка M принадлежит окружности $\omega_M$, по определению этой окружности, M является серединой хорды BC, где C — некоторая точка на основной окружности $\omega$. Таким образом, построенная нами точка C лежит на описанной окружности $\omega$ треугольника ABD.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Ответ: Треугольник ABC строится согласно приведенному выше алгоритму. Ключевым шагом является нахождение точки M как пересечения прямой AD и вспомогательной окружности $\omega_M$, центр которой — середина радиуса OB описанной окружности $\triangle ABD$, а радиус равен половине радиуса описанной окружности. Вершина C затем находится как точка, симметричная B относительно M.