Номер 6.30, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.30. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и BC. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой AC.

6.30. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны. Через середины сторон $AB$ и $AD$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам $DC$ и $BC$. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой $AC$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Так как по условию диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны, мы можем удобно расположить их на осях прямоугольной системы координат. Пусть точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ будет началом координат $O(0, 0)$. Поместим диагональ $AC$ на ось абсцисс ($Ox$), а диагональ $BD$ — на ось ординат ($Oy$).

В этом случае вершины четырехугольника будут иметь следующие координаты:
$A = (a, 0)$, $C = (c, 0)$, $B = (0, b)$, $D = (0, d)$.
Поскольку четырехугольник является выпуклым и его диагонали пересекаются в начале координат, числа $a$ и $c$ имеют противоположные знаки, и числа $b$ и $d$ также имеют противоположные знаки. Например, можно считать, что $a > 0$, $c < 0$, $b > 0$, $d < 0$.

Найдем координаты середин сторон $AB$ и $AD$.
Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Координаты точки $M$ вычисляются как полусумма соответствующих координат точек $A$ и $B$:$M = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$.
Пусть $N$ — середина стороны $AD$. Аналогично, ее координаты:$N = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+d}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{d}{2}\right)$.

Теперь составим уравнения прямых, упомянутых в условии задачи.
Первая прямая, назовем ее $l_1$, проходит через точку $M$ и перпендикулярна стороне $DC$.Найдем угловой коэффициент $k_{DC}$ прямой, проходящей через точки $D(0, d)$ и $C(c, 0)$:$k_{DC} = \frac{0-d}{c-0} = -\frac{d}{c}$.Поскольку прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $DC$, ее угловой коэффициент $k_1$ связан с $k_{DC}$ соотношением $k_1 \cdot k_{DC} = -1$. Таким образом:$k_1 = -\frac{1}{k_{DC}} = -\frac{1}{-d/c} = \frac{c}{d}$.Уравнение прямой $l_1$, проходящей через точку $M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$ с угловым коэффициентом $k_1 = \frac{c}{d}$, имеет вид (уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту):$y - \frac{b}{2} = \frac{c}{d}\left(x - \frac{a}{2}\right)$Умножим обе части на $2d$, чтобы избавиться от знаменателей:$2d\left(y - \frac{b}{2}\right) = 2c\left(x - \frac{a}{2}\right)$$2dy - bd = 2cx - ac$$2cx - 2dy = ac - bd$ (1)

Вторая прямая, $l_2$, проходит через точку $N$ и перпендикулярна стороне $BC$.Найдем угловой коэффициент $k_{BC}$ прямой, проходящей через точки $B(0, b)$ и $C(c, 0)$:$k_{BC} = \frac{0-b}{c-0} = -\frac{b}{c}$.Угловой коэффициент $k_2$ прямой $l_2$, перпендикулярной $BC$, равен:$k_2 = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{-b/c} = \frac{c}{b}$.Уравнение прямой $l_2$, проходящей через точку $N\left(\frac{a}{2}, \frac{d}{2}\right)$ с угловым коэффициентом $k_2 = \frac{c}{b}$:$y - \frac{d}{2} = \frac{c}{b}\left(x - \frac{a}{2}\right)$Умножим обе части на $2b$:$2b\left(y - \frac{d}{2}\right) = 2c\left(x - \frac{a}{2}\right)$$2by - bd = 2cx - ac$$2cx - 2by = ac - bd$ (2)

Чтобы найти точку пересечения прямых $l_1$ и $l_2$, необходимо решить систему из двух полученных уравнений:$\begin{cases} 2cx - 2dy = ac - bd \\ 2cx - 2by = ac - bd \end{cases}$Правые части уравнений равны, следовательно, мы можем приравнять их левые части:$2cx - 2dy = 2cx - 2by$Вычтем $2cx$ из обеих частей:$-2dy = -2by$Разделим на $-2$:$dy = by$$dy - by = 0$$y(d-b) = 0$Поскольку $B(0, b)$ и $D(0, d)$ — это разные вершины четырехугольника, их ординаты не совпадают, то есть $b \neq d$, а значит, $d-b \neq 0$.Из уравнения $y(d-b) = 0$ следует, что $y=0$.

Таким образом, ордината точки пересечения проведенных прямых равна нулю. В выбранной нами системе координат прямая $AC$ совпадает с осью $Ox$, уравнение которой есть $y=0$.Так как ордината точки пересечения равна нулю, эта точка принадлежит оси $Ox$, а значит, и прямой $AC$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.