Номер 7.3, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.3. Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180°. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180°, то данная трапеция является равнобокой?

7.3. Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $180^\circ$. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна $180^\circ$, то данная трапеция является равнобокой?

Доказательство, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180°

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

1. По определению трапеции, её основания параллельны: $AD \parallel BC$.

2. По свойству равнобокой трапеции, углы при каждом её основании равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AB$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

4. Нам нужно доказать, что сумма противолежащих углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

5. Используя равенство из пункта 3 ($\angle A + \angle B = 180^\circ$) и свойство равнобокой трапеции из пункта 2 ($\angle B = \angle C$), заменим $\angle B$ на $\angle C$:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

6. Аналогично, используя равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и свойство $\angle A = \angle D$, заменим $\angle A$ на $\angle D$:

$\angle D + \angle B = 180^\circ$.

Таким образом, доказано, что в равнобокой трапеции суммы противолежащих углов равны $180^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.

Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180°, то данная трапеция является равнобокой?

Проверим это утверждение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$, и пусть в ней сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

2. По свойству любой трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей. Для боковой стороны $AB$ имеем:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

3. Сравним два равенства:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$ (из условия)

$\angle A + \angle B = 180^\circ$ (из свойства трапеции)

Приравнивая левые части, получаем: $\angle A + \angle C = \angle A + \angle B$.

4. Вычитая из обеих частей $\angle A$, получаем: $\angle C = \angle B$.

5. Мы получили, что углы при основании $BC$ равны. По одному из признаков равнобокой трапеции, если углы при одном из оснований трапеции равны, то такая трапеция является равнобокой.

Следовательно, обратное утверждение также верно.

Ответ: Да, обратное утверждение верно.