Номер 7.6, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.6. Один из углов равнобокой трапеции равен $60^\circ$, боковая сторона — 18 см, а сумма оснований — 50 см. Найдите основания трапеции.

7.6. Один из углов равнобокой трапеции равен $60^\circ$, боковая сторона — 18 см, а сумма оснований — 50 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция. Обозначим ее основания как $a$ (большее) и $b$ (меньшее), а боковую сторону как $c$.

По условию задачи нам известно:

• Один из углов равен $60°$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180°$. Следовательно, в трапеции есть два угла по $60°$ (острые, при большем основании) и два угла по $180° - 60° = 120°$ (тупые, при меньшем основании).
• Боковая сторона $c = 18$ см.
• Сумма оснований $a + b = 50$ см.

Для нахождения оснований проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекут от трапеции два равных прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник в центре. Длина прямоугольника будет равна меньшему основанию $b$.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона трапеции ($c = 18$ см), а один из острых углов — это угол при основании трапеции ($60°$). Катет этого треугольника, лежащий на большем основании, найдем с помощью косинуса.

Пусть длина этого катета будет $x$.$x = c \cdot \cos(60°) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Большее основание $a$ состоит из меньшего основания $b$ и двух таких катетов $x$ (по одному с каждой стороны). Таким образом, мы можем записать:$a = b + 2x$$a = b + 2 \cdot 9$$a = b + 18$

Из этого уравнения следует, что разность оснований равна $a - b = 18$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $a + b = 50$ (из условия)
2) $a - b = 18$ (получено из расчетов)

Сложим эти два уравнения, чтобы найти большее основание $a$:$(a + b) + (a - b) = 50 + 18$
$2a = 68$
$a = \frac{68}{2} = 34$ см.

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти меньшее основание $b$:$34 + b = 50$
$b = 50 - 34 = 16$ см.

Итак, основания трапеции равны 34 см и 16 см.
Ответ: 16 см и 34 см.