Номер 7.8, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.8.Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов – $60^\circ$. Найдите большую боковую сторону трапеции.

7.8. Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов — $60^\circ$. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, следовательно, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. По условию задачи, меньшее основание $BC = 7$ см, а большее основание $AD = 15$ см.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ имеем $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Так как $AD > BC$, то угол при большем основании $\angle D$ будет острым, а угол при меньшем основании $\angle C$ — тупым. Следовательно, данный в условии угол $60^\circ$ — это острый угол, $\angle D = 60^\circ$.

Для нахождения боковых сторон проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Фигура $ABCH$ является прямоугольником, так как $AB \parallel CH$ (обе перпендикулярны $AD$) и $BC \parallel AH$. Отсюда следует, что $AH = BC = 7$ см и $AB = CH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). Найдем длину катета $HD$: $HD = AD - AH = 15 - 7 = 8$ см.

В треугольнике $CHD$ нам известны катет $HD = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle D = 60^\circ$. Боковая сторона $CD$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее длину, используя определение косинуса: $\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD}$ $CD = \frac{HD}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{1/2} = 16$ см.

Другая боковая сторона трапеции, $AB$, равна высоте $CH$. Найдем $CH$ из треугольника $CHD$, используя определение тангенса: $\tan(\angle D) = \frac{CH}{HD}$ $CH = HD \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см. Следовательно, $AB = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь необходимо найти бо́льшую боковую сторону. Сравним длины сторон $CD = 16$ см и $AB = 8\sqrt{3}$ см. Возведем обе длины в квадрат: $CD^2 = 16^2 = 256$ $AB^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$ Поскольку $256 > 192$, то $CD > AB$.

Таким образом, бо́льшая боковая сторона трапеции — это $CD$, и ее длина равна 16 см.

Ответ: 16 см.