Номер 7.10, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.10. В трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $BC = CD$, $\angle ABD = 80^\circ$. Найдите углы трапеции.

7.10. В трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $BC=CD$, $\angle ABD = 80^\circ$. Найдите углы трапеции.

По условию, в трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $AD$ ($AB \perp AD$). Это означает, что трапеция является прямоугольной, и $\angle A = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Зная, что $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle ABD = 80^\circ$, найдем угол $\angle ADB$: $\angle ADB = 180^\circ - 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$.

Так как $BC \parallel AD$, а $BD$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны. Следовательно, $\angle CBD = \angle ADB = 10^\circ$.

Полный угол $B$ трапеции равен сумме углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$: $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 80^\circ + 10^\circ = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию $BC = CD$, значит, он равнобедренный, и углы при основании $BD$ равны: $\angle CDB = \angle CBD = 10^\circ$.

Полный угол $D$ трапеции равен сумме углов $\angle ADB$ и $\angle CDB$: $\angle D = \angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = 10^\circ + 10^\circ = 20^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ получаем $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$. Отсюда находим угол $C$: $\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы трапеции.

Ответ: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 160^\circ$, $\angle D = 20^\circ$.