Номер 7.16, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.16. Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB = CD$) пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO = OD$ и $BO = OC$.

7.16. Диагонали равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB = CD$) пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO = OD$ и $BO = OC$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению равнобокой трапеции, её боковые стороны равны: $AB = CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Докажем, что $AO = OD$

Рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔDCA$. В этих треугольниках:
1) $AB = CD$ по условию, так как трапеция равнобокая.
2) $AD$ — общая сторона.
3) $∠BAD = ∠CDA$ как углы при основании равнобокой трапеции.

Следовательно, $ΔABD \cong ΔDCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных углов, а именно $∠BDA = ∠CAD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔAOD$. Углы $∠ODA$ и $∠OAD$ этого треугольника являются теми же углами, что и $∠BDA$ и $∠CAD$. Так как $∠BDA = ∠CAD$, то и $∠ODA = ∠OAD$.

Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, $ΔAOD$ — равнобедренный с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AO = OD$. Первое равенство доказано.

Докажем, что $BO = OC$

Из доказанного выше равенства треугольников $ΔABD \cong ΔDCA$ также следует, что их соответственные стороны равны, то есть диагонали трапеции равны: $AC = BD$.

Длина каждой диагонали может быть представлена как сумма длин отрезков, на которые она делится точкой пересечения $O$:
$AC = AO + OC$
$BD = BO + OD$

Так как $AC = BD$ и $AO = OD$ (из предыдущего пункта), мы можем записать равенство: $AO + OC = BO + OD$

Заменим в этом равенстве $OD$ на равное ему $AO$:
$AO + OC = BO + AO$

Вычитая $AO$ из обеих частей равенства, получаем:
$OC = BO$

Второе равенство также доказано. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Равенства $AO = OD$ и $BO = OC$ доказаны.