Номер 7.4, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.4. Средняя линия равностороннего треугольника со стороной $6$ см разбивает его на треугольник и четырёхугольник. Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр.

7.4. Средняя линия равностороннего треугольника со стороной 6 см разбивает его на треугольник и четырёхугольник. Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 6$ см. Это означает, что все его стороны равны ($AB = BC = CA = 6$ см), и все углы равны $60^\circ$.
Проведём среднюю линию $MN$, где точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $BC$. Эта средняя линия делит исходный треугольник на две фигуры: малый треугольник $MBN$ и четырёхугольник $AMNC$.

Определение вида четырёхугольника
Согласно свойству средней линии треугольника, она всегда параллельна третьей стороне. В нашем случае, средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$ ($MN \parallel AC$).
Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет, называется трапецией. Следовательно, четырёхугольник $AMNC$ — это трапеция, где $MN$ и $AC$ являются её основаниями.
Для определения вида трапеции найдём длины её боковых (непараллельных) сторон $AM$ и $NC$.
Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то $AM = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ см.
Аналогично, поскольку $N$ — середина стороны $BC$, то $NC = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ см.
Так как боковые стороны трапеции равны ($AM = NC$), то трапеция является равнобокой (или равнобедренной).
Ответ: равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Нахождение периметра четырёхугольника
Периметр трапеции $AMNC$ вычисляется как сумма длин всех её сторон: $P = AM + MN + NC + CA$.
Найдём длины каждой из сторон:
1. $AM = 3$ см (как было найдено выше).
2. $NC = 3$ см (как было найдено выше).
3. $CA = 6$ см (это сторона исходного равностороннего треугольника).
4. $MN$ — средняя линия. Её длина равна половине длины параллельной ей стороны $AC$. $MN = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ см.
Теперь сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр:
$P = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 6 \text{ см} = 15 \text{ см}$.
Ответ: 15 см.