Номер 6.15, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.15. Углы $BAD$ и $BCE$ — внешние углы треугольника $ABC$. Из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BM$ и $BK$ к биссектрисам углов $BAD$ и $BCE$ соответственно. Найдите отрезок $MK$, если периметр треугольника $ABC$ равен 18 см.

6.15. Углы $BAD$ и $BCE$ — внешние углы треугольника $ABC$. Из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BM$ и $BK$ к биссектрисам углов $BAD$ и $BCE$ соответственно. Найдите отрезок $MK$, если периметр треугольника $ABC$ равен 18 см.

Пусть $l_A$ — биссектриса внешнего угла $BAD$ треугольника $ABC$, а $l_C$ — биссектриса внешнего угла $BCE$. По условию, из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BM$ к $l_A$ (точка $M$ лежит на $l_A$) и $BK$ к $l_C$ (точка $K$ лежит на $l_C$).

Рассмотрим луч $BM$. Продлим его до пересечения с прямой, содержащей сторону $AC$, в точке $P$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABP$. Прямая $l_A$, на которой лежит точка $M$, является биссектрисой угла $\angle PAB$. Также, по условию, $BM \perp l_A$, значит, $AM$ является высотой в треугольнике $\triangle ABP$. Так как в $\triangle ABP$ биссектриса $AM$ совпадает с высотой, то $\triangle ABP$ — равнобедренный с основанием $BP$. Отсюда следует, что $AB = AP$, а высота $AM$ является также и медианой. Таким образом, точка $M$ — середина отрезка $BP$.

Аналогично рассмотрим луч $BK$. Продлим его до пересечения с прямой, содержащей сторону $AC$, в точке $Q$. Рассмотрим треугольник $\triangle CBQ$. Прямая $l_C$, на которой лежит точка $K$, является биссектрисой угла $\angle BCQ$. Также, по условию, $BK \perp l_C$, значит, $CK$ является высотой в треугольнике $\triangle CBQ$. Так как в $\triangle CBQ$ биссектриса $CK$ совпадает с высотой, то $\triangle CBQ$ — равнобедренный с основанием $BQ$. Отсюда следует, что $BC = CQ$, а высота $CK$ является также и медианой. Таким образом, точка $K$ — середина отрезка $BQ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PBQ$. Точки $P$, $A$, $C$, $Q$ лежат на одной прямой. В этом треугольнике точка $M$ является серединой стороны $BP$, а точка $K$ — серединой стороны $BQ$. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией $\triangle PBQ$.

По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины третьей стороны. В нашем случае $MK = \frac{1}{2}PQ$.

Найдем длину стороны $PQ$. Точки $P$, $A$, $C$, $Q$ лежат на одной прямой, причём точка $A$ лежит между $P$ и $C$, а точка $C$ — между $A$ и $Q$. Длина отрезка $PQ$ складывается из длин отрезков $PA$, $AC$ и $CQ$:
$PQ = PA + AC + CQ$.
Мы ранее установили, что $PA = AB$ и $CQ = BC$. Подставим эти равенства в формулу для $PQ$:
$PQ = AB + AC + BC$.
Эта сумма представляет собой периметр треугольника $ABC$. По условию задачи, периметр $P_{ABC} = 18$ см.
Следовательно, $PQ = 18$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $MK$:
$MK = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.