Номер 5.36, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.36. В прямоугольнике ABCD $AD = 9$ см, $\angle BDA = 30^\circ$. На сторонах BC и AD отметили соответственно точки M и K так, что образовался ромб AMCK. Найдите сторону этого ромба.

5.36. В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 9$ см, $\angle BDA = 30^\circ$. На сторонах $BC$ и $AD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что образовался ромб $AMCK$. Найдите сторону этого ромба.

Для решения задачи сначала найдем длину стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, в котором угол $\angle A = 90^\circ$, поскольку $ABCD$ – прямоугольник. Из условия нам известны длина катета $AD=9$ см и величина прилежащего к нему острого угла $\angle BDA = 30^\circ$. Используя определение тангенса, можем найти длину второго катета $AB$:

$\tan(\angle BDA) = \frac{AB}{AD}$

Выразим $AB$:

$AB = AD \cdot \tan(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

В прямоугольнике противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = AB = 3\sqrt{3}$ см.

Далее рассмотрим ромб $AMCK$. Пусть длина его стороны равна $a$. По определению ромба все его стороны равны, то есть $AM = MC = CK = KA = a$.

По условию, точка $K$ лежит на стороне $AD$, поэтому отрезок $AK$ является частью стороны $AD$ и его длина равна стороне ромба: $AK = a$. Тогда можем выразить длину отрезка $DK$:

$DK = AD - AK = 9 - a$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CDK$ (угол $\angle D = 90^\circ$). Его гипотенузой является сторона ромба $CK=a$, а катетами – сторона прямоугольника $CD=3\sqrt{3}$ см и отрезок $DK=9-a$. По теореме Пифагора:

$CK^2 = CD^2 + DK^2$

Подставим известные значения и выражения в это равенство:

$a^2 = (3\sqrt{3})^2 + (9 - a)^2$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$a^2 = 27 + (81 - 18a + a^2)$

$a^2 = 27 + 81 - 18a + a^2$

$a^2 = 108 - 18a + a^2$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 108 - 18a$

Перенесем $18a$ в левую часть:

$18a = 108$

$a = \frac{108}{18}$

$a = 6$

Таким образом, сторона ромба $AMCK$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.