Номер 5.37, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.37. В прямоугольнике $ABCD$ $\angle BCA : \angle DCA = 1 : 5$, $AC = 18$ см. Найдите расстояние от точки $C$ до диагонали $BD$.

5.37. В прямоугольнике $ABCD$ $\angle BCA : \angle DCA = 1 : 5$, $AC = 18$ см. Найдите расстояние от точки $C$ до диагонали $BD$.

Поскольку ABCD — прямоугольник, его угол $ \angle BCD $ равен $ 90^\circ $. Этот угол состоит из двух углов, $ \angle BCA $ и $ \angle DCA $, поэтому $ \angle BCA + \angle DCA = 90^\circ $.

Из условия известно, что $ \angle BCA : \angle DCA = 1 : 5 $. Обозначим $ \angle BCA = x $, тогда $ \angle DCA = 5x $. Получаем уравнение:$ x + 5x = 90^\circ $$ 6x = 90^\circ $$ x = 15^\circ $Следовательно, $ \angle BCA = 15^\circ $ и $ \angle DCA = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ $.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда $ AC = BD = 18 $ см, и $ AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9 $ см.

Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. Так как $ AO = BO $, он равнобедренный. Углы при основании равны. Угол $ \angle OAB $ (он же $ \angle CAB $) равен углу $ \angle ACD $ (он же $ \angle DCA $) как накрест лежащий при параллельных прямых AB и DC и секущей AC. Мы нашли, что $ \angle DCA = 75^\circ $, значит, $ \angle OAB = 75^\circ $. Тогда и $ \angle OBA = 75^\circ $. Сумма углов в треугольнике $ \triangle AOB $ равна $ 180^\circ $, поэтому угол $ \angle AOB = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 30^\circ $.

Угол $ \angle COD $ равен углу $ \angle AOB $ как вертикальный, поэтому $ \angle COD = 30^\circ $.

Расстояние от точки C до диагонали BD — это длина перпендикуляра CH, опущенного из вершины C на прямую BD. Рассмотрим треугольник $ \triangle OCD $. Он равнобедренный ($ OC = OD = 9 $ см), и угол между этими сторонами $ \angle COD = 30^\circ $. CH является высотой этого треугольника, проведенной к стороне OD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle OHC $, образованный этой высотой. В нем гипотенуза $ OC = 9 $ см, а угол $ \angle HOC $ (он же $ \angle DOC $) равен $ 30^\circ $. Искомое расстояние CH является катетом, противолежащим этому углу.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:$ CH = OC \cdot \sin(\angle HOC) $$ CH = 9 \cdot \sin(30^\circ) $Так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, то:$ CH = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 $ см.

Ответ: 4,5 см.