Номер 5.33, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.33. Четырёхугольники $ABCD$, $DEFM$, $MNKL$, $LPOS$ и $SQTV$ — квадраты (рис. 5.16). Найдите сумму длин сторон квадратов, которые не лежат на прямой $AV$, если длина отрезка $AV$ равна 16 см.

Рис. 5.16

5.33. Четырёхугольники $ABCD$, $DEFM$, $MNKL$, $LPOS$ и $SQTV$ — квадраты (рис. 5.16). Найдите сумму длин сторон квадратов, которые не лежат на прямой $AV$, если длина отрезка $AV$ равна 16 см.

Рис. 5.16

Пусть стороны квадратов $ABCD$, $DEFM$, $MNKL$, $LPOS$ и $SQTV$ равны $a_1, a_2, a_3, a_4$ и $a_5$ соответственно.
Стороны этих квадратов ($AD, DM, ML, LS, SV$) лежат на прямой $AV$. Длина всего отрезка $AV$ равна сумме длин этих сторон:
$AV = AD + DM + ML + LS + SV = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$.
Согласно условию задачи, длина отрезка $AV$ равна 16 см. Таким образом, мы имеем равенство:
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 16$.

Нам нужно найти сумму длин всех сторон квадратов, которые не лежат на прямой $AV$.
Каждый из пяти данных четырёхугольников является квадратом, у которого 4 равные стороны. Одна из этих сторон лежит на прямой $AV$. Следовательно, у каждого квадрата есть три стороны, которые не лежат на этой прямой.

Сумма длин этих трех сторон для каждого квадрата будет равна:

• $ABCD$: $AB + BC + CD = 3a_1$
• $DEFM$: $DE + EF + FM = 3a_2$
• $MNKL$: $MN + NK + KL = 3a_3$
• $LPOS$: $LP + PO + OS = 3a_4$
• $SQTV$: $SQ + QT + TV = 3a_5$

Чтобы найти общую сумму длин всех сторон, не лежащих на прямой $AV$, нужно сложить полученные значения:
$S = 3a_1 + 3a_2 + 3a_3 + 3a_4 + 3a_5$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 3(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5)$.
Мы уже установили, что сумма в скобках равна длине отрезка $AV$, то есть 16 см. Подставим это значение в формулу:
$S = 3 \times 16 = 48$ см.

Ответ: 48 см.