Номер 20.10, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.10. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

20.10. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника — это $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$.

По условию задачи, один из катетов равен 6 см. Пусть это будет катет $BC$, то есть $BC = 6$ см.

К этому катету проведена медиана длиной 5 см. Медиана, проведённая к катету $BC$, исходит из противолежащей вершины $A$ и соединяет её с серединой стороны $BC$. Обозначим середину катета $BC$ точкой $M$. Тогда медиана — это отрезок $AM$, и его длина $AM = 5$ см.

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то длина отрезка $MC$ равна половине длины катета $BC$:
$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. Этот треугольник является прямоугольным, так как угол $C$ — прямой. В этом треугольнике известны:

• катет $MC = 3$ см;
• гипотенуза $AM = 5$ см.

Второй катет $AC$ этого треугольника также является катетом исходного треугольника $ABC$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $AMC$, чтобы найти длину катета $AC$:
$AC^2 + MC^2 = AM^2$
$AC^2 + 3^2 = 5^2$
$AC^2 + 9 = 25$
$AC^2 = 25 - 9$
$AC^2 = 16$
$AC = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы знаем длины обоих катетов исходного прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = 4$ см и $BC = 6$ см.

Чтобы найти длину гипотенузы $AB$, снова применим теорему Пифагора, но уже для треугольника $ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 4^2 + 6^2$
$AB^2 = 16 + 36$
$AB^2 = 52$
$AB = \sqrt{52}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:
$AB = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.