Номер 20.15, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.15. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 20.3 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 20.3

а

б

в

20.15. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 20.3 (длины отрезков даны в сантиметрах).

a

$1$, $1$, $2$, $x$

б

$x$, $4$, $2$, $3$

в

$2$, $3$, $4$, $x$

Рис. 20.3

а) Фигура состоит из двух последовательно соединенных прямоугольных треугольников. Найдем гипотенузу первого (левого) треугольника, которая является катетом для второго. Обозначим ее длину как $y$. По теореме Пифагора для первого треугольника с катетами 2 и 1:
$y^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
Теперь рассмотрим второй (правый) треугольник. Его катеты равны $y$ и 1, а гипотенуза — $x$. По теореме Пифагора для второго треугольника:
$x^2 = y^2 + 1^2$.
Подставим найденное значение $y^2$:
$x^2 = 5 + 1 = 6$.
Следовательно, $x = \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}$ см.

б) Данная фигура состоит из двух прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Обозначим длину этого общего горизонтального катета как $h$.
Для нижнего треугольника с катетами 2 и $h$ и гипотенузой 3 по теореме Пифагора имеем:
$2^2 + h^2 = 3^2$
$4 + h^2 = 9$
$h^2 = 9 - 4 = 5$.
Для верхнего треугольника с катетами $x$ и $h$ и гипотенузой 4 по теореме Пифагора имеем:
$x^2 + h^2 = 4^2$
$x^2 + h^2 = 16$.
Подставим значение $h^2 = 5$ в это уравнение:
$x^2 + 5 = 16$
$x^2 = 16 - 5 = 11$.
Следовательно, $x = \sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{11}$ см.

в) На рисунке изображены два прямоугольных треугольника с общим вертикальным катетом. Обозначим длину этого катета как $h$.
Рассмотрим правый треугольник с катетами 3 и $h$ и гипотенузой 4. По теореме Пифагора:
$h^2 + 3^2 = 4^2$
$h^2 + 9 = 16$
$h^2 = 16 - 9 = 7$.
Теперь рассмотрим больший треугольник, гипотенузой которого является отрезок $x$. Его катеты — это $h$ и отрезок, состоящий из двух частей, длиной $2+3=5$. По теореме Пифагора для этого треугольника:
$x^2 = h^2 + (2+3)^2 = h^2 + 5^2$.
Подставим найденное значение $h^2 = 7$ в уравнение:
$x^2 = 7 + 25 = 32$.
Следовательно, $x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$ см.