Номер 20.18, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание равнобедренного треугольника.

20.18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Боковые стороны равны, то есть $AC = BC$.

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, точка $H$ лежит на стороне $BC$.

Высота $AH$ делит боковую сторону $BC$ на два отрезка. В условии сказано, что отсчет ведется "от вершины угла при основании". Вершиной угла при основании, лежащей на стороне $BC$, является точка $B$. Следовательно, отрезок, примыкающий к вершине $B$, равен 4 см, а другой отрезок равен 16 см.

Таким образом, мы имеем: $BH = 4$ см и $HC = 16$ см.

Длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:
$BC = BH + HC = 4 + 16 = 20$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AC = BC = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHC = 90^\circ$). В нем известны гипотенуза $AC = 20$ см и катет $HC = 16$ см. По теореме Пифагора найдем длину катета $AH$:
$AC^2 = AH^2 + HC^2$
$AH^2 = AC^2 - HC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$AH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В нем известны катеты $AH = 12$ см и $BH = 4$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$, которая является основанием исходного треугольника:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$
$AB = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Ответ: $4\sqrt{10}$ см.