Номер 20.21, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.21. Из точки, удалённой от прямой на 5 см, проведены к этой прямой две наклонные длиной $5\sqrt{5}$ см и $\sqrt{89}$ см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

20.21. Из точки, удалённой от прямой на 5 см, проведены к этой прямой две наклонные длиной $5\sqrt{5}$ см и $\sqrt{89}$ см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Пусть из точки A, не лежащей на прямой $l$, проведен перпендикуляр AH к этой прямой и две наклонные AB и AC. По условию, расстояние от точки до прямой равно 5 см, следовательно, длина перпендикуляра $AH = 5$ см. Длины наклонных равны $AB = 5\sqrt{5}$ см и $AC = \sqrt{89}$ см. Точки B и C — основания наклонных, лежащие на прямой $l$. Отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую $l$. Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка BC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ (угол H — прямой, так как AH — перпендикуляр к прямой $l$). Используя теорему Пифагора, мы можем найти длины проекций HB и HC.

Найдем длину проекции HB из треугольника $\triangle AHB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$HB^2 = AB^2 - AH^2 = (5\sqrt{5})^2 - 5^2 = (25 \cdot 5) - 25 = 125 - 25 = 100$
$HB = \sqrt{100} = 10$ см.

Аналогично найдем длину проекции HC из треугольника $\triangle AHC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AH^2 + HC^2$
$HC^2 = AC^2 - AH^2 = (\sqrt{89})^2 - 5^2 = 89 - 25 = 64$
$HC = \sqrt{64} = 8$ см.

Расстояние между основаниями наклонных (BC) зависит от их взаимного расположения относительно основания перпендикуляра (точки H). Существует два возможных случая.

Случай 1. Основания наклонных лежат по разные стороны от основания перпендикуляра.
В этом случае точка H находится между точками B и C. Тогда расстояние BC равно сумме длин проекций HB и HC.
$BC = HB + HC = 10 + 8 = 18$ см.
Ответ: 18 см.

Случай 2. Основания наклонных лежат по одну сторону от основания перпендикуляра.
В этом случае точки B и C находятся с одной стороны от точки H. Тогда расстояние BC равно модулю разности длин проекций HB и HC.
$BC = |HB - HC| = |10 - 8| = 2$ см.
Ответ: 2 см.

Поскольку в условии задачи не уточнено расположение оснований наклонных, задача имеет два возможных решения: 18 см и 2 см.