Номер 20.19, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.19. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

20.19. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см.
Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. По условию, длина основания $AC = 24$ см, а радиус описанной окружности $R = 13$ см. Требуется найти длину боковой стороны $b = AB$.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр $O$ описанной около треугольника окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, то есть на прямой, содержащей высоту $BH$.

Поскольку треугольник $ABC$ тупоугольный, центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию (угол $B$). Это означает, что центр окружности $O$ и вершина $B$ находятся по разные стороны от прямой $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Его гипотенуза $OA$ является радиусом описанной окружности, поэтому $OA = R = 13$ см. Катет $AH = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину катета $OH$:

$OA^2 = AH^2 + OH^2$

$13^2 = 12^2 + OH^2$

$169 = 144 + OH^2$

$OH^2 = 169 - 144 = 25$

$OH = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как точки $B$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AC$, то точка $H$ лежит на отрезке $BO$. Отрезок $OB$ также является радиусом окружности ($OB = R = 13$ см). Длину высоты треугольника $BH$ (обозначим ее $h$) можно найти из соотношения:

$OB = BH + OH$

$13 = h + 5$

$h = 13 - 5 = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Катеты $AH = 12$ см и $BH = 8$ см. Гипотенуза $AB$ — это искомая боковая сторона $b$. Применим теорему Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$b^2 = 12^2 + 8^2$

$b^2 = 144 + 64$

$b^2 = 208$

$b = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

Ответ: $4\sqrt{13}$ см.