Номер 20.23, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.23. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной.

20.23. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной.

Пусть из некоторой точки к прямой проведен перпендикуляр высотой $h$ и две наклонные. Длины наклонных равны $l_1 = 15$ см и $l_2 = 27$ см. Пусть $p_1$ и $p_2$ — это длины проекций этих наклонных на прямую.

Каждая наклонная, ее проекция и перпендикуляр, опущенный из той же точки на прямую, образуют прямоугольный треугольник. Высота $h$ является общим катетом для двух таких треугольников.

Согласно условию задачи, сумма длин проекций равна 24 см:
$p_1 + p_2 = 24$

По теореме Пифагора для каждого из двух прямоугольных треугольников можно составить уравнения:
1) $h^2 + p_1^2 = l_1^2 \implies h^2 + p_1^2 = 15^2 = 225$
2) $h^2 + p_2^2 = l_2^2 \implies h^2 + p_2^2 = 27^2 = 729$

Мы получили систему уравнений. Выразим $h^2$ из первого и второго уравнений:
$h^2 = 225 - p_1^2$
$h^2 = 729 - p_2^2$

Поскольку левые части уравнений равны, то равны и правые:
$225 - p_1^2 = 729 - p_2^2$

Преобразуем уравнение, сгруппировав переменные:
$p_2^2 - p_1^2 = 729 - 225$
$p_2^2 - p_1^2 = 504$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p_2 - p_1)(p_2 + p_1) = 504$

Из условия задачи мы знаем, что $p_1 + p_2 = 24$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(p_2 - p_1) \cdot 24 = 504$

Отсюда найдем разность длин проекций:
$p_2 - p_1 = \frac{504}{24} = 21$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} p_1 + p_2 = 24 \\ p_2 - p_1 = 21 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$(p_1 + p_2) + (p_2 - p_1) = 24 + 21$
$2p_2 = 45$
$p_2 = 22,5$ см

Теперь подставим значение $p_2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $p_1$:
$p_1 + 22,5 = 24$
$p_1 = 24 - 22,5 = 1,5$ см

Таким образом, длины проекций равны 1,5 см и 22,5 см.
Ответ: 1,5 см и 22,5 см.