Номер 20.22, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.22. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как $5:6$, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.

20.22. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 5 : 6, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.

Пусть из некоторой точки A к прямой l проведен перпендикуляр AH и две наклонные AB и AC. Длина перпендикуляра AH является расстоянием от точки до прямой, обозначим ее как h. Отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую l.

По условию задачи, длины наклонных относятся как 5 : 6. Обозначим длины наклонных как $AB = 5x$ и $AC = 6x$, где x – коэффициент пропорциональности. Длины проекций равны 7 см и 18 см.

В прямоугольном треугольнике, образованном наклонной, ее проекцией и перпендикуляром, квадрат наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции. То есть, $наклонная^2 = h^2 + проекция^2$. При одинаковой высоте h, большей наклонной соответствует большая проекция. Так как $6x > 5x$ и 18 см > 7 см, то наклонной $AC = 6x$ соответствует проекция $HC = 18$ см, а наклонной $AB = 5x$ соответствует проекция $HB = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAHB и ΔAHC. По теореме Пифагора:
1) Для ΔAHB: $AB^2 = AH^2 + HB^2$
$(5x)^2 = h^2 + 7^2$
$25x^2 = h^2 + 49$
2) Для ΔAHC: $AC^2 = AH^2 + HC^2$
$(6x)^2 = h^2 + 18^2$
$36x^2 = h^2 + 324$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными h и x. Выразим $h^2$ из каждого уравнения:
$h^2 = 25x^2 - 49$
$h^2 = 36x^2 - 324$

Приравняем правые части выражений:
$25x^2 - 49 = 36x^2 - 324$
$36x^2 - 25x^2 = 324 - 49$
$11x^2 = 275$
$x^2 = \frac{275}{11}$
$x^2 = 25$

Теперь, зная $x^2$, найдем $h^2$, подставив значение $x^2 = 25$ в первое уравнение для $h^2$:
$h^2 = 25x^2 - 49 = 25 \cdot 25 - 49 = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.