Номер 20.27, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.27. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.

20.27. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали $d_1 = 16$ см и $d_2 = 20$ см.

Воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения длин диагоналей в формулу:

$16^2 + 20^2 = 2(a^2 + b^2)$

$256 + 400 = 2(a^2 + b^2)$

$656 = 2(a^2 + b^2)$

Разделив обе части на 2, получим первое уравнение для нахождения сторон:

$a^2 + b^2 = 328$

Далее, используем условие, что одна из диагоналей перпендикулярна стороне. Пусть эта сторона — $a$. В этом случае данная диагональ, сторона $a$ и смежная с ней сторона $b$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а сторона $a$ и диагональ — катетами. По теореме Пифагора, $a^2 + (\text{длина диагонали})^2 = b^2$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Диагональ $d_1 = 16$ см перпендикулярна стороне.

В этом случае по теореме Пифагора получаем второе уравнение:

$a^2 + 16^2 = b^2 \implies a^2 + 256 = b^2$

Теперь решим систему из двух уравнений: $a^2 + b^2 = 328$ и $b^2 = a^2 + 256$.

Подставим выражение для $b^2$ из второго уравнения в первое:

$a^2 + (a^2 + 256) = 328$

$2a^2 + 256 = 328$

$2a^2 = 328 - 256$

$2a^2 = 72$

$a^2 = 36$, откуда $a = 6$ см (так как длина стороны должна быть положительной).

Теперь найдем сторону $b$:

$b^2 = a^2 + 256 = 36 + 256 = 292$

$b = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$ см.

Этот случай дает нам возможное решение.

Случай 2: Диагональ $d_2 = 20$ см перпендикулярна стороне.

В этом случае второе уравнение будет выглядеть так:

$a^2 + 20^2 = b^2 \implies a^2 + 400 = b^2$

Решим систему уравнений: $a^2 + b^2 = 328$ и $b^2 = a^2 + 400$.

Подставим выражение для $b^2$ в первое уравнение:

$a^2 + (a^2 + 400) = 328$

$2a^2 + 400 = 328$

$2a^2 = 328 - 400$

$2a^2 = -72$

$a^2 = -36$

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины стороны не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственным решением является результат, полученный в первом случае.

Ответ: $6$ см и $2\sqrt{73}$ см.