Номер 20.33, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.33. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

20.33. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$. Пусть основаниями будут $DC$ и $AB$, причем $DC > AB$. Тогда $DC = 18$ см, а $AB = 12$ см. Поскольку трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть это будет сторона $AD$. Тогда $\angle D = 90^\circ$ и $\angle A = 90^\circ$. В этом случае боковая сторона $AD$ является высотой трапеции, а $BC$ — наклонной боковой стороной. В такой трапеции угол $\angle C$ будет острым, а угол $\angle B$ — тупым.

По условию задачи, диагональ является биссектрисой острого угла. Острый угол в нашей трапеции — это $\angle C$. Диагональ, выходящая из вершины $C$, — это $AC$. Следовательно, $AC$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, что означает $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AB \parallel DC$), прямая $AC$ является для них секущей. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому $\angle BAC = \angle ACD$.

Из двух полученных равенств ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BAC = \angle ACD$) следует, что $\angle BCA = \angle BAC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, в котором боковые стороны $BC$ и $AB$ равны: $BC = AB$.

Так как длина основания $AB$ равна 12 см, то длина боковой стороны $BC$ также равна 12 см.

Теперь найдем высоту трапеции $AD$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $DC$. Четырехугольник $ABHD$ является прямоугольником, поэтому $DH = AB = 12$ см и $AD = BH$. Длина отрезка $HC$ равна разности длин оснований: $HC = DC - DH = 18 - 12 = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (прямой угол при $H$). По теореме Пифагора, $BH^2 + HC^2 = BC^2$. Подставим известные значения:$BH^2 + 6^2 = 12^2$$BH^2 + 36 = 144$$BH^2 = 144 - 36 = 108$.Так как $AD = BH$, то $AD^2 = 108$.

Нам нужно найти длину диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (прямой угол при $D$). По теореме Пифагора, $AC^2 = AD^2 + DC^2$. Подставим известные значения:$AC^2 = 108 + 18^2$$AC^2 = 108 + 324 = 432$.

Теперь найдем длину $AC$:$AC = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.