Номер 20.36, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.36. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 12 см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

20.36. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен $12$ см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — $20$ см. Найдите периметр данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус. По условию $r = 12$ см. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$, тогда точка $O$ лежит на отрезке $BH$.

Расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — это расстояние от вершины $B$ до точки $O$ (так как $O$ лежит на оси симметрии треугольника, и расстояние до $B$ будет отличаться от расстояний до $A$ и $C$). По условию $BO = 20$ см.

Высота $BH$ состоит из двух отрезков: $BO$ и $OH$. Отрезок $OH$ — это расстояние от центра вписанной окружности до основания $AC$, которое равно радиусу вписанной окружности. Таким образом, $OH = r = 12$ см.

Найдем высоту треугольника $BH$:

$h = BH = BO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Пусть вписанная окружность касается боковой стороны $AB$ в точке $K$. Тогда $OK$ — это радиус, проведенный в точку касания, следовательно, $OK \perp AB$ и $OK = r = 12$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOK$ (прямой угол при вершине $K$). По теореме Пифагора найдем длину отрезка $BK$:

$BK = \sqrt{BO^2 - OK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle BOK$. У них общий острый угол $\angle B$. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам ($\triangle ABH \sim \triangle BOK$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AH}{OK} = \frac{BH}{BK} = \frac{AB}{BO}$

Используя эту пропорцию, найдем половину основания $AH$ и боковую сторону $AB$.

Из соотношения $\frac{AH}{OK} = \frac{BH}{BK}$ находим $AH$:

$\frac{AH}{12} = \frac{32}{16} \implies \frac{AH}{12} = 2 \implies AH = 24$ см.

Тогда основание $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Из соотношения $\frac{AB}{BO} = \frac{BH}{BK}$ находим $AB$:

$\frac{AB}{20} = \frac{32}{16} \implies \frac{AB}{20} = 2 \implies AB = 40$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны: $AB = BC = 40$ см, $AC = 48$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = AB + BC + AC = 40 + 40 + 48 = 128$ см.

Ответ: 128 см.