Номер 20.31, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.31. Дан отрезок длины 1. Постройте отрезок, равный:

1) $\sqrt{3}$;

2) $\sqrt{6}$.

20.31. Дан отрезок длины 1. Постройте отрезок, равный:

1) $\sqrt{3}$;

2) $\sqrt{6}$.

Для построения отрезков, длины которых являются квадратными корнями, воспользуемся методом, основанным на теореме о высоте в прямоугольном треугольнике. Эта теорема утверждает, что высота, опущенная на гипотенузу, является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу. Если высота $h$ делит гипотенузу на отрезки $p$ и $q$, то $h = \sqrt{p \cdot q}$. Для построения отрезка длиной $\sqrt{x}$, нужно представить $x$ как произведение $p \cdot q$ и выполнить соответствующее построение с помощью циркуля и линейки.

Чтобы построить отрезок длиной $\sqrt{3}$, представим число 3 в виде произведения $1 \cdot 3$. Следовательно, мы будем строить высоту прямоугольного треугольника, которая делит гипотенузу на отрезки длиной $p=1$ и $q=3$.

Порядок построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, длина которого равна $1 + 3 = 4$ единичным отрезкам. Это можно сделать, отложив данный единичный отрезок четыре раза подряд.
2. Найдем середину отрезка $AC$ (обозначим ее $O$) и построим полуокружность с центром в $O$, для которой $AC$ является диаметром.
3. На отрезке $AC$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$ длиной 1. Тогда длина отрезка $BC$ будет равна 3.
4. Из точки $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим $D$.
5. Отрезок $BD$ является высотой прямоугольного треугольника $ADC$ (угол $ADC$ — прямой, так как он опирается на диаметр), опущенной на гипотенузу.
6. Длина отрезка $BD$ вычисляется как среднее геометрическое отрезков $AB$ и $BC$: $BD = \sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt{1 \cdot 3} = \sqrt{3}$.

Ответ: построенный отрезок $BD$ имеет искомую длину $\sqrt{3}$.

Чтобы построить отрезок длиной $\sqrt{6}$, представим число 6 в виде произведения $2 \cdot 3$. Мы будем строить высоту прямоугольного треугольника, которая делит гипотенузу на отрезки длиной $p=2$ и $q=3$.

Порядок построения:

1. Начертим прямую и отложим на ней отрезок $AC$ длиной $2 + 3 = 5$ единичных отрезков.
2. Найдем середину $O$ отрезка $AC$ и построим полуокружность с $AC$ в качестве диаметра.
3. На отрезке $AC$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$ длиной 2. Соответственно, длина отрезка $BC$ будет равна 3.
4. Из точки $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$ до его пересечения с полуокружностью в точке $D$.
5. Отрезок $BD$ является искомым. Его длина равна $BD = \sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$.

Ответ: построенный отрезок $BD$ имеет искомую длину $\sqrt{6}$.