Номер 20.39, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.39. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

20.39. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 18$ см и $b = 24$ см. Для дальнейших вычислений найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.

Меньший острый угол в треугольнике лежит напротив меньшей стороны. В нашем случае меньший катет равен 18 см. Следовательно, нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины угла, противолежащего катету длиной 18 см.

Обозначим вершины треугольника: пусть $\angle C = 90^\circ$, катет $BC = 18$ см, катет $AC = 24$ см, гипотенуза $AB = 30$ см. Меньшим острым углом будет $\angle A$, так как он лежит напротив меньшего катета $BC$.

Проведем биссектрису $AL$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $L$ лежит на катете $BC$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки ($CL$ и $LB$), пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AC$ и $AB$): $\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения сторон: $\frac{CL}{LB} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Мы также знаем, что $CL + LB = BC = 18$ см. Получаем систему уравнений. Из пропорции $\frac{CL}{LB} = \frac{4}{5}$ следует, что $LB = \frac{5}{4}CL$. Подставим это выражение в уравнение $CL + LB = 18$: $CL + \frac{5}{4}CL = 18$ $\frac{9}{4}CL = 18$ $CL = \frac{18 \cdot 4}{9} = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACL$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Катеты этого треугольника $AC = 24$ см и $CL = 8$ см. Искомая биссектриса $AL$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее длину по теореме Пифагора: $AL^2 = AC^2 + CL^2$ $AL^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640$ $AL = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.