Номер 20.44, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.44. Докажите, что если в трапеции диагонали перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований.

20.44. Докажите, что если в трапеции диагонали перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали трапеции AC и BD по условию перпендикулярны. Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований, то есть $AC^2 + BD^2 = (AD + BC)^2$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Проведем через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E.

Рассмотрим получившийся четырехугольник BCED. В нем $BC \parallel DE$, так как BC и AD — основания трапеции, а точка E лежит на продолжении AD. Также $CE \parallel BD$ по построению. Следовательно, BCED — параллелограмм (по определению).

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны: $DE = BC$ и $CE = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. Его сторона AE является суммой отрезков AD и DE. Заменив DE на равный ему отрезок BC, получаем: $AE = AD + BC$.

По условию, диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как мы построили $CE \parallel BD$, то из этого следует, что прямая AC перпендикулярна и прямой CE, то есть $AC \perp CE$. Это означает, что угол $\angle ACE$ прямой, а треугольник ACE — прямоугольный.

Применим к прямоугольному треугольнику ACE теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AE^2 = AC^2 + CE^2$.

Подставим в это равенство выражения для AE и CE, найденные ранее:

$(AD + BC)^2 = AC^2 + BD^2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если в трапеции диагонали перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований.