Номер 20.46, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.46. Точка H — ортоцентр треугольника ABC, R — радиус его описанной окружности. Докажите, что $AH^2 = 4R^2 - BC^2$.

20.46. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, $R$ — радиус его описанной окружности. Докажите, что $AH^2 = 4R^2 - BC^2$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Проведем через вершину $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. Точка $D$ окажется на описанной окружности. Соединим точку $D$ с вершинами $A$ и $C$.

По определению, ортоцентр $H$ является точкой пересечения высот треугольника. Высота, проведенная из вершины $A$, перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, прямая $AH$ перпендикулярна $BC$ ($AH \perp BC$). Так как $BD$ — диаметр, вписанный угол $\angle BCD$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$. Отсюда следует, что $DC \perp BC$. Поскольку прямые $AH$ и $DC$ обе перпендикулярны прямой $BC$, они параллельны ($AH \parallel DC$).

Аналогично, высота из вершины $C$ перпендикулярна стороне $AB$, то есть $CH \perp AB$. Вписанный угол $\angle BAD$ также опирается на диаметр $BD$, поэтому $\angle BAD = 90^\circ$. Отсюда следует, что $DA \perp AB$. Так как прямые $CH$ и $DA$ обе перпендикулярны прямой $AB$, они параллельны ($CH \parallel DA$).

В четырехугольнике $ADCH$ противоположные стороны попарно параллельны ($AH \parallel DC$ и $CH \parallel DA$), значит, $ADCH$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны, то есть $AH = DC$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Он является прямоугольным, так как $\angle BCD = 90^\circ$. Его гипотенуза $BD$ является диаметром описанной окружности, поэтому ее длина равна $2R$. По теореме Пифагора для треугольника $BCD$:$BC^2 + DC^2 = BD^2$

Подставим в это равенство $DC = AH$ и $BD = 2R$:$BC^2 + AH^2 = (2R)^2$$BC^2 + AH^2 = 4R^2$

Выражая $AH^2$, получаем искомое соотношение:$AH^2 = 4R^2 - BC^2$Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.