Номер 21.2, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите:

1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;

2) синус угла, противолежащего меньшему катету;

3) косинус угла, прилежащего к большему катету;

4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

21.2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите:

1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;

2) синус угла, противолежащего меньшему катету;

3) косинус угла, прилежащего к большему катету;

4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 2 см.

Обозначим больший катет как $a = 3$ см, а меньший катет как $b = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ см.

Пусть $\alpha$ — угол, прилежащий к большему катету ($a=3$ см). Противолежащим катетом для этого угла является меньший катет ($b=2$ см).
Пусть $\beta$ — угол, противолежащий большему катету ($a=3$ см). Прилежащим катетом для этого угла является меньший катет ($b=2$ см).

1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;

Угол, прилежащий к большему катету ($a=3$ см), — это угол $\alpha$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) синус угла, противолежащего меньшему катету;

Угол, противолежащий меньшему катету ($b=2$ см), — это угол $\alpha$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:
$\sin(\alpha) = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

3) косинус угла, прилежащего к большему катету;

Угол, прилежащий к большему катету ($a=3$ см), — это угол $\alpha$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\cos(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{13}}{13}$.

4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Угол, противолежащий большему катету ($a=3$ см), — это угол $\beta$. Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
$\cot(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.