Номер 20.47, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.47. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ $AC = 1$ см, $BC = 3$ см. На сторонах $BC$ и $AB$ как на гипотенузах во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники $BКС$ и $BDA$. Найдите отрезок $KD$.

20.47. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $AC = 1$ см, $BC = 3$ см. На сторонах $BC$ и $AB$ как на гипотенузах во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники $ВКС$ и $BDA$. Найдите отрезок $KD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартову систему координат. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, разместим вершину $C$ в начале координат $(0, 0)$. Катет $AC$ длиной 1 см расположим вдоль оси $Oy$, а катет $BC$ длиной 3 см — вдоль оси $Ox$.

Таким образом, вершины треугольника $ABC$ будут иметь следующие координаты:

• $C = (0, 0)$
• $A = (0, 1)$
• $B = (3, 0)$

Теперь найдем координаты точек $K$ и $D$.

1. Нахождение координат точки K.
Треугольник $BKC$ — равнобедренный прямоугольный с гипотенузой $BC$. Это означает, что вершина прямого угла $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, а расстояние от $K$ до $BC$ равно половине длины $BC$.Середина гипотенузы $BC$ — точка $M_{BC}$ — имеет координаты:$M_{BC} = (\frac{3+0}{2}; \frac{0+0}{2}) = (1.5, 0)$.Длина гипотенузы $BC = 3$ см. Высота (и медиана) $KM_{BC}$ равна половине гипотенузы: $KM_{BC} = \frac{BC}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.Так как $BC$ лежит на оси $Ox$, серединный перпендикуляр к $BC$ является вертикальной линией $x=1.5$. Треугольник $BKC$ построен во внешнюю сторону, поэтому точка $K$ будет находиться под осью $Ox$, то есть ее y-координата будет отрицательной.Следовательно, координаты точки $K$: $(1.5, -1.5)$.

2. Нахождение координат точки D.
Треугольник $BDA$ — равнобедренный прямоугольный с гипотенузой $AB$. Аналогично, точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, и расстояние от $D$ до $AB$ равно половине длины $AB$.Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ см.Середина гипотенузы $AB$ — точка $M_{AB}$ — имеет координаты:$M_{AB} = (\frac{3+0}{2}; \frac{0+1}{2}) = (1.5, 0.5)$.Высота $DM_{AB}$ равна половине гипотенузы $AB$: $DM_{AB} = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.Угловой коэффициент прямой $AB$: $m_{AB} = \frac{1-0}{0-3} = -\frac{1}{3}$.Серединный перпендикуляр к $AB$ (на котором лежит точка $D$) имеет угловой коэффициент $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = 3$.Пусть координаты точки $D$ равны $(x_D, y_D)$. Точка $D$ лежит на прямой, проходящей через $M_{AB}(1.5, 0.5)$ с угловым коэффициентом 3, поэтому $y_D - 0.5 = 3(x_D - 1.5)$.Расстояние от $D$ до $M_{AB}$ равно $\frac{\sqrt{10}}{2}$:$(x_D - 1.5)^2 + (y_D - 0.5)^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{10}{4} = 2.5$.Подставим выражение для $y_D - 0.5$ в уравнение расстояния:$(x_D - 1.5)^2 + (3(x_D - 1.5))^2 = 2.5$$(x_D - 1.5)^2 + 9(x_D - 1.5)^2 = 2.5$$10(x_D - 1.5)^2 = 2.5$$(x_D - 1.5)^2 = 0.25$$x_D - 1.5 = \pm 0.5$.Отсюда получаем два возможных значения для $x_D$:1) $x_D = 1.5 + 0.5 = 2$. Тогда $y_D = 0.5 + 3(2 - 1.5) = 0.5 + 1.5 = 2$. Точка $(2, 2)$.2) $x_D = 1.5 - 0.5 = 1$. Тогда $y_D = 0.5 + 3(1 - 1.5) = 0.5 - 1.5 = -1$. Точка $(1, -1)$.Чтобы определить, какая из этих точек соответствует построению во внешнюю сторону, проверим их положение относительно прямой $AB$. Уравнение прямой $AB$: $\frac{x-0}{3-0} = \frac{y-1}{0-1} \Rightarrow -x = 3(y-1) \Rightarrow x+3y-3=0$.Вершина $C(0,0)$ находится "внутри". Подставим ее координаты: $0+3(0)-3 = -3$.Для внешней точки знак выражения $x+3y-3$ должен быть противоположным, то есть положительным.Проверим точку $(2, 2)$: $2 + 3(2) - 3 = 2+6-3 = 5 > 0$. Эта точка находится с внешней стороны.Проверим точку $(1, -1)$: $1 + 3(-1) - 3 = 1-3-3 = -5 < 0$. Эта точка находится с той же стороны, что и $C$.Следовательно, координаты точки $D$: $(2, 2)$.

3. Нахождение длины отрезка KD.
Теперь, зная координаты точек $K(1.5, -1.5)$ и $D(2, 2)$, найдем расстояние между ними по формуле:$KD = \sqrt{(x_D - x_K)^2 + (y_D - y_K)^2}$$KD = \sqrt{(2 - 1.5)^2 + (2 - (-1.5))^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (3.5)^2}$$KD = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5}$$KD = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.