Номер 20.16, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.16. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 20.4 (длины отрезков даны в сантиметрах).

a

$3$, $x$, $1$, $\sqrt{6}$

б

$x$, $1$, $1$, $2$

Рис. 20.4

20.16. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 20.4 (длины отрезков даны в сантиметрах).

а) Значения на рисунке: $3$, $x$, $\sqrt{6}$, $1$.

б) Значения на рисунке: $x$, $1$, $2$, $1$.

Рис. 20.4

а

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке. Обозначим их общий катет (высоту) буквой $h$.

1. В малом прямоугольном треугольнике (справа) катеты равны $h$ и 1, а гипотенуза равна $\sqrt{6}$. Применим теорему Пифагора:

$h^2 + 1^2 = (\sqrt{6})^2$

$h^2 + 1 = 6$

$h^2 = 5$

2. В большом прямоугольном треугольнике катеты равны $h$ и $(x+1)$, а гипотенуза равна 3. Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

$h^2 + (x+1)^2 = 3^2$

3. Теперь подставим найденное значение $h^2 = 5$ во второе уравнение и решим его относительно $x$:

$5 + (x+1)^2 = 9$

$(x+1)^2 = 9 - 5$

$(x+1)^2 = 4$

Так как длина отрезка является положительной величиной, $x+1 > 0$, поэтому извлекаем положительный корень:

$x+1 = 2$

$x = 2 - 1 = 1$

Ответ: 1.

б

Фигура, изображенная на рисунке, является прямоугольной трапецией, так как у нее есть два прямых угла при одной из боковых сторон. Это означает, что эта боковая сторона перпендикулярна двум основаниям трапеции.

Исходя из данных на рисунке, мы имеем:

• Высота трапеции (левая боковая сторона): $h=1$
• Одно основание (нижнее): $b_1 = 1$
• Другое основание (верхнее): $b_2 = x$
• Наклонная боковая сторона: $c = 2$

Для нахождения $x$ проведем высоту из конца одного основания к другому. Это разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Рассмотрим этот прямоугольный треугольник:

• Один из его катетов равен высоте трапеции, то есть 1.
• Другой катет равен разности длин оснований: $|x-1|$. Судя по рисунку, $x$ длиннее, поэтому разность равна $x-1$.
• Гипотенуза этого треугольника — наклонная сторона трапеции, равная 2.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора:

$(\text{катет})^2 + (\text{катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2$

$1^2 + (x-1)^2 = 2^2$

$1 + (x-1)^2 = 4$

$(x-1)^2 = 3$

Так как $x-1$ представляет собой длину катета, эта величина должна быть положительной. Извлекаем положительный корень:

$x-1 = \sqrt{3}$

$x = 1 + \sqrt{3}$

Ответ: $1 + \sqrt{3}$.