Номер 20.13, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.13. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной $a$.

20.13. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной $a$.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. Проведём в нём высоту $h$.

В равностороннем треугольнике высота является также и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$. Один из катетов равен половине основания, которое делит высота, то есть $\frac{a}{2}$. Второй катет — это искомая высота $h$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим из этого уравнения $h^2$:

$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}$

$h^2 = \frac{3a^2}{4}$

Теперь найдём $h$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2}}{\sqrt{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$