Номер 21.11, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.11. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

21.11. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

Пусть даны диагонали ромба $d_1 = 4$ см и $d_2 = 4\sqrt{3}$ см.
Свойства диагоналей ромба: они пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей:
$a = \frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см;
$b = \frac{d_2}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
Острые углы этих прямоугольных треугольников являются половинами углов ромба, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Обозначим эти половины углов как $\alpha$ и $\beta$.
Найдем один из этих углов, используя тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему). Пусть $\alpha$ — угол, противолежащий катету $b$:
$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$. Таким образом, $\alpha = 60^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому второй острый угол $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Теперь найдем углы самого ромба. Они равны удвоенным значениям найденных углов $\alpha$ и $\beta$:
Один угол ромба равен $2\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Другой угол ромба равен $2\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
В ромбе противоположные углы равны, значит, у него есть два угла по $120^\circ$ и два угла по $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.