Номер 21.18, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.18. Найдите значение выражения:

1) $\sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ$;

2) $\cos^3 36^\circ - \sin^3 54^\circ$.

21.18. Найдите значение выражения:

1) $\sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ$;

2) $\cos^3 36^\circ - \sin^3 54^\circ$.

1) Найдем значение выражения $ \sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ $.
Воспользуемся формулой приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $.
Заметим, что $ 72^\circ = 90^\circ - 18^\circ $. Следовательно, мы можем преобразовать второй член выражения:
$ \sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ $.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$ \sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ = \sin^2 18^\circ + (\cos 18^\circ)^2 = \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ $.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, данное выражение равно 1.
Ответ: 1

2) Найдем значение выражения $ \cos^3 36^\circ - \sin^3 54^\circ $.
Воспользуемся формулой приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $.
Заметим, что углы $36^\circ$ и $54^\circ$ являются комплементарными (дополнительными), так как их сумма равна $90^\circ$ ($36^\circ + 54^\circ = 90^\circ$).
Преобразуем второй член выражения:
$ \sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ $.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$ \cos^3 36^\circ - \sin^3 54^\circ = \cos^3 36^\circ - (\cos 36^\circ)^3 = \cos^3 36^\circ - \cos^3 36^\circ = 0 $.
Ответ: 0