Номер 21.21, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.21. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ и $CK$ — высоты треугольника, $\cos A = \frac{3}{7}$. Найдите отношение $CK : BD$.

21.21. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ и $CK$ — высоты треугольника, $\cos A = \frac{3}{7}$. Найдите отношение $CK : BD$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Это означает, что треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. $BD$ и $CK$ — высоты, следовательно, $BD \perp AC$ и $CK \perp AB$. Также известно, что $\cos A = \frac{3}{7}$.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить, используя разные стороны в качестве основания и соответствующие им высоты.

1. Если в качестве основания взять сторону $AC$, то высота к ней — $BD$. Площадь треугольника будет равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$

2. Если в качестве основания взять сторону $AB$, то высота к ней — $CK$. Площадь треугольника будет равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$

Так как площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:
$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$
Умножив обе части на 2, получим:
$AC \cdot BD = AB \cdot CK$

Из этого равенства выразим искомое отношение высот $\frac{CK}{BD}$:
$\frac{CK}{BD} = \frac{AC}{AB}$

Теперь задача сводится к нахождению отношения сторон $AC$ и $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, который образован высотой $BD$ ($\angle BDA = 90^\circ$). По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AD}{AB}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BD$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $D$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AC = 2 \cdot AD$.

Из выражения $\cos A = \frac{AD}{AB}$ найдем $AD$:
$AD = AB \cdot \cos A$

Теперь подставим это выражение в формулу для $AC$:
$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot AB \cdot \cos A$

Найдем отношение $\frac{AC}{AB}$:
$\frac{AC}{AB} = \frac{2 \cdot AB \cdot \cos A}{AB} = 2 \cdot \cos A$

Подставим известное из условия значение $\cos A = \frac{3}{7}$:
$\frac{AC}{AB} = 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{7}$

Ранее мы получили, что $\frac{CK}{BD} = \frac{AC}{AB}$. Следовательно:
$\frac{CK}{BD} = \frac{6}{7}$

Таким образом, отношение $CK : BD$ равно $6 : 7$.

Ответ: $6:7$