Номер 21.27, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.27. Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Известно, что $CH = AB$. Найдите угол $\angle C$ треугольника $ABC$.

21.27. Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Известно, что $CH = AB$. Найдите угол $C$ треугольника $ABC$.

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BE$ и $CF$ к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. Точка $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABE$ (так как $BE \perp AC$). В этом треугольнике $\angle AEB = 90^\circ$ и $\angle BAE = \angle A$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle HEC$. Угол $\angle HEC = 90^\circ$, поскольку $BE$ — высота. Точки $C, H, F$ лежат на одной прямой (высоте $CF$), поэтому угол $\angle HCE$ совпадает с углом $\angle FCE$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AFC$ ($\angle AFC = 90^\circ$) имеем $\angle ACF = 90^\circ - \angle FAC = 90^\circ - \angle A$. Таким образом, $\angle HCE = 90^\circ - \angle A$.

Зная два угла в прямоугольном треугольнике $\triangle HEC$ ($\angle HEC = 90^\circ$ и $\angle HCE = 90^\circ - \angle A$), находим третий угол: $\angle EHC = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = \angle A$.

Сравним треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle HCE$. В них: $\angle AEB = \angle HEC = 90^\circ$ и $\angle BAE = \angle EHC = \angle A$. Следовательно, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle HCE$ подобны по двум углам.

Из подобия следует отношение соответственных сторон: $AB/HC = BE/CE$. По условию задачи дано, что $CH = AB$. Подставив это в пропорцию, получаем $AB/AB = 1$, откуда следует, что $BE/CE = 1$, то есть $BE = CE$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BEC$. Мы установили, что его катеты $BE$ и $CE$ равны. Это означает, что $\triangle BEC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Углы при основании такого треугольника равны $45^\circ$. В частности, $\angle BCE = 45^\circ$. Угол $\angle BCE$ является углом $\angle C$ исходного треугольника $ABC$.

Ответ: $45^\circ$.