Номер 22.4, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а косинус одного из острых углов — 0,8. Найдите катеты треугольника.

22.4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а косинус одного из острых углов — 0,8. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза $c = 10$ см, а катеты равны $a$ и $b$. Известно, что косинус одного из острых углов, назовем его $\alpha$, равен 0,8.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть катет $a$ является прилежащим к углу $\alpha$. Тогда можно записать:

$ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} $

Подставим в эту формулу известные значения, чтобы найти длину катета $a$:

$ 0,8 = \frac{a}{10} $

Отсюда находим $a$:

$ a = 10 \cdot 0,8 = 8 $ см.

Теперь, зная гипотенузу и один катет, мы можем найти второй катет $b$ с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$ 8^2 + b^2 = 10^2 $

$ 64 + b^2 = 100 $

Выразим $b^2$:

$ b^2 = 100 - 64 $

$ b^2 = 36 $

Найдем $b$, взяв квадратный корень:

$ b = \sqrt{36} = 6 $ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.