Номер 22.7, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.7. Решите прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу: $c = 28 \text{ см}, \alpha = 48^{\circ}$;

2) по катету и острому углу: $a = 56 \text{ см}, \beta = 74^{\circ}$;

3) по катету и гипотенузе: $a = 5 \text{ см}, c = 9 \text{ см}$;

4) по двум катетам: $a = 3 \text{ см}, b = 7 \text{ см}$.

22.7. Решите прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу: $c = 28$ см, $\alpha = 48^\circ$;

2) по катету и острому углу: $a = 56$ см, $\beta = 74^\circ$;

3) по катету и гипотенузе: $a = 5$ см, $c = 9$ см;

4) по двум катетам: $a = 3$ см, $b = 7$ см.

1) по гипотенузе и острому углу: c = 28 см, α = 48°

Решение. Для решения прямоугольного треугольника необходимо найти все его неизвестные стороны и углы. В стандартных обозначениях, $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза, $\alpha$ и $\beta$ - острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$ соответственно, $\gamma = 90°$.

1. Найдём второй острый угол $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$.
$\beta = 90° - \alpha = 90° - 48° = 42°$.

2. Найдём катет $a$, противолежащий углу $\alpha$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \sin(\alpha)$
$a = 28 \cdot \sin(48°) \approx 28 \cdot 0.7431 \approx 20.81$ см.

3. Найдём катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$. Косинус острого угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \cos(\alpha)$
$b = 28 \cdot \cos(48°) \approx 28 \cdot 0.6691 \approx 18.74$ см.

Ответ: $\beta = 42°$, $a \approx 20.81$ см, $b \approx 18.74$ см.

2) по катету и острому углу: a = 56 см, β = 74°

Решение. В данном случае, $a$ - катет, прилежащий к углу $\beta$.

1. Найдём второй острый угол $\alpha$.
$\alpha = 90° - \beta = 90° - 74° = 16°$.

2. Найдём катет $b$, противолежащий углу $\beta$. Тангенс острого угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
$\tan(\beta) = \frac{b}{a} \implies b = a \cdot \tan(\beta)$
$b = 56 \cdot \tan(74°) \approx 56 \cdot 3.4874 \approx 195.30$ см.

3. Найдём гипотенузу $c$. Косинус угла $\beta$ - это отношение прилежащего катета $a$ к гипотенузе $c$.
$\cos(\beta) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\cos(\beta)}$
$c = \frac{56}{\cos(74°)} \approx \frac{56}{0.2756} \approx 203.17$ см.

Ответ: $\alpha = 16°$, $b \approx 195.30$ см, $c \approx 203.17$ см.

3) по катету и гипотенузе: a = 5 см, c = 9 см

Решение.

1. Найдём второй катет $b$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$.
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7.48$ см.

2. Найдём угол $\alpha$, противолежащий катету $a$, используя определение синуса.
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{9}$
$\alpha = \arcsin(\frac{5}{9}) \approx 33.75°$.

3. Найдём второй острый угол $\beta$.
$\beta = 90° - \alpha \approx 90° - 33.75° = 56.25°$.

Ответ: $b = \sqrt{56} \approx 7.48$ см, $\alpha \approx 33.75°$, $\beta \approx 56.25°$.

4) по двум катетам: a = 3 см, b = 7 см

Решение.

1. Найдём гипотенузу $c$ по теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$.
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.62$ см.

2. Найдём угол $\alpha$, противолежащий катету $a$, используя определение тангенса.
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{3}{7}$
$\alpha = \arctan(\frac{3}{7}) \approx 23.20°$.

3. Найдём второй острый угол $\beta$.
$\beta = 90° - \alpha \approx 90° - 23.20° = 66.80°$.

Ответ: $c = \sqrt{58} \approx 7.62$ см, $\alpha \approx 23.20°$, $\beta \approx 66.80°$.